Volumen de la Pirámide.

Question

Volumen de la Pirámide.

volumen
geometría
intuición
Matemáticas

no tfue

La mayoría de las pruebas informales sobre el volumen de la pirámide que he visto consisten en cortar el cubo en 3 de esta manera:

Pirámide dentro del cubo

Luego salta a la afirmación de que el volumen de cualquier pirámide es $\frac{bh}{3}$ dónde $b$ es base y $h$ es altura

¿Cómo prueba que cortar un cubo en 3 piezas es cierto para cualquier pirámide (digamos, pirámide estelar, pirámide rectangular,...)? $\frac{bh}{3}$ ?

Oria Gruber

Le recomiendo que consulte el principio de Cavalieri en.wikipedia.org/wiki/Cavalieri%27s_principle

wilson masaro

Una demostración informal: P es el centro del cubo. El volumen de un cubo de arista a es

a^{3}

$a^3$ . Podemos ver 6 pirámides equivalentes, cada una con un vértice en P y teniendo una de las caras del cubo como base.

V_{1 p y r} = α . (a^{2}) . (\frac{a}{2})

$V_{1pyr}=α.(a^2).(\frac{a}{2})$

a^{3} = 6. α (a^{2}) (\frac{a}{2})

$a^3=6.α(a^2)(\frac{a}{2})$ . Entonces

α = \frac{1}{3}

$α=\frac{1}{3}$

Respuestas (3)

Volumen de la Pirámide.

Le recomiendo que consulte el principio de Cavalieri en.wikipedia.org/wiki/Cavalieri%27s_principle
Una demostración informal: P es el centro del cubo. El volumen de un cubo de arista a es $a^3$ . Podemos ver 6 pirámides equivalentes, cada una con un vértice en P y teniendo una de las caras del cubo como base. $V_{1pyr}=α.(a^2).(\frac{a}{2})$ $a^3=6.α(a^2)(\frac{a}{2})$ . Entonces $α=\frac{1}{3}$

Misha Lavrov · Answer 1

Suponga que sabe que cualquier pirámide con una base cuadrada tiene volumen $\frac13 bh$ .

A continuación, supongamos que la base (con área $b$ ) es una forma formada por $k$ cuadrados (con áreas $b_1, \dots, b_k$ ). Podemos cortar la pirámide en $k$ pirámides con bases cuadradas, que tienen volúmenes $\frac13b_1h, \dots, \frac13b_kh$ . El volumen total será $\frac13(b_1 + \dots + b_k)h$ , o $\frac13bh$ .

A continuación, suponga que la base tiene cualquier otra forma. (La pirámide podría ser un cono, una pirámide pentagonal, lo que sea). Podemos aproximarnos a la base arbitrariamente bien con formas formadas por muchos cuadrados pequeños (así es como funciona la pantalla de su computadora). Como todas esas aproximaciones tienen volumen $\frac13bh$ , también lo hace la pirámide real.

Vi que la respuesta de Jacob Claassen ya abordaba el tema de la altura, así que no lo hice.

Jacob Claassen · Answer 2

Considere lo que sucede cuando alarga cualquier forma 3d a lo largo de un eje por un factor de $n$ : el volumen se multiplica por $n$ . Ahora considere lo que sucede cuando mueve la punta de la pirámide para que $h$ permanece constante: todas las secciones transversales de la pirámide permanecen iguales, por lo que el área es la misma. De ello se deduce que si el área de una pirámide es $bh/3$ , entonces todas las pirámides semejantes son $bh/3$ .

Hay pruebas completas por ahí, pero espero que esto brinde una mejor comprensión intuitiva de por qué funciona.

no tfue · Answer 3

Solo agregando algunas ayudas visuales para "cuando alargas cualquier $3$ forma d a lo largo de un eje por un factor de $u$ "(Esto no es una respuesta). Suponga que escala la pirámide unitaria por $u=7$ en $z$ eje. Se verá así.

Cambiemos $z$ eje a $u$ eje donde cada unidad de longitud en el eje vertical es $u$ veces la unidad de $z$ .

Entonces en este eje nuestra pirámide tendrá volumen $\frac{1*1*1}{3}$ y volviendo al espacio original obtenemos $\frac{u*1*1}{3}$ .

Volumen de la Pirámide.

no tfue

Oria Gruber

wilson masaro

Respuestas (3)

Misha Lavrov

Misha Lavrov

Jacob Claassen

no tfue

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