Tres puntos de un espacio afín son colineales ⟺det(A)=0⟺det(A)=0\iff \det(A)=0, siendo AAA la matriz de coordenadas baricéntricas.

Estoy haciendo este ejercicio:

Dejar 3 diferentes puntos de un plano afín, con coordenadas baricéntricas X = ( X 0 , X 1 , X 2 ) , Y = ( y 0 , y 1 , y 2 ) , Z = ( z 0 , z 1 , z 2 ) respecto a un marco de referencia fijo. Demuestre que esos puntos son coplanares si y solo si

| X 0 y 0 z 0 X 1 y 1 z 1 X 2 y 2 z 2 | = 0.

No puedo usar transformaciones afines, ni thales ni ceva.

Traté de resolver el problema creando un marco de referencia de tres puntos A , B y C , con coordenadas cartesianas A = ( a 1 , a 2 ) , B = ( b 1 , b 2 ) y C = ( C 1 , C 2 ) , y luego haciendo las matrices para cambiar el sistema de referencia al marco canónico, pero es muy largo y no sé si estoy tomando el camino correcto. Y al final obtengo:

| X 1 ′ X 2 ′ X 3 ′ y 1 ′ y 2 ′ y 3 ′ 1 1 1 | = 0 ⟺ | X 0 y 0 z 0 X 1 y 1 z 1 X 2 y 2 z 2 | = 0 ,

dónde X = ( X 1 ′ , y 1 ′ ) , Y = ( X 2 ′ , y 2 ′ ) , Z = ( X 3 ′ , y 3 ′ ) son las coordenadas de X , Y , Z en el marco canónico.

Cualquier pista o indicación será muy bien recibida. Gracias.

Respuestas (1)

Prueba : ( ⟹ ) Asumir que det ( X Y Z ) = 0 . Entonces, la ecuación a X + b Y + C Z = 0 tiene una solución no trivial. Entonces podemos escribir Z = α X + β Y para algunas constantes α y β (no ambos cero).

ingrese la descripción de la imagen aquí

Pero Z ∼ Z ′ dónde Z ′ está en la línea de conexión X y Y es decir Z ′ = ( 1 − λ ) X + λ Y para algunos λ es decir X , Y , y Z son colineales.

( ⟸ ) Dejar X , Y , y Z ser colineal. Entonces, Z = ( 1 − t ) X + t Y para algunos t . De este modo, { X , Y , Z } es un conjunto linealmente dependiente, lo que implica que d mi t ( X Y Z ) = 0

Tres puntos de un espacio afín son colineales ⟺det(A)=0⟺det(A)=0\iff \det(A)=0, siendo AAA la matriz de coordenadas baricéntricas.
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