¿Determinar los límites de una integral triple?

Necesito ayuda con un problema de integración triple. No necesito ayuda para integrar esto, solo necesito ayuda para configurar las integrales reales. Específicamente, no sé cómo determinar cuáles son los límites.

Básicamente tenemos una dona 3D. El problema dice que podemos modelar la dona como un toro centrado en el origen (0,0,0) con radio exterior R=4 y radio interior r=2. Los puntos (x,y,z) dentro del toroide se describen mediante la siguiente condición:

Enlace de ecuación

Aquí, c es el radio desde el origen hasta el centro del tubo toroide (creo que es 3), y a es el radio del tubo circular (creo que debería ser 1), la sección transversal del tubo circular es un circulo

Necesito calcular el volumen de la dona después de 2 cortes. El primer corte ocurre paralelo al eje x en y = -3, y luego paralelo al eje y en x = 1.

Hasta ahora, configuré la siguiente integral (en coordenadas polares) que creo que representa el volumen de toda la dona:

ecuación integral

Pero no sé cómo restar los cortes? Supongo que necesito dos integrales más que deben restarse del volumen total, pero no puedo configurarlo. ¿Alguien puede ayudar? ¿El volumen que tengo es correcto hasta ahora?

Respuestas (1)

Tienes un problema de orden: Los límites en el z integral depende de r , y por lo tanto tiene que hacerse donde r se define. En otras palabras, la integral es

∫ 0 2 π ∫ 2 4 ∫ − a 2 − ( r − C ) 2 a 2 − ( r − C ) 2 r d z d r d θ

Y tienes razón en eso C = 3 y a = 1

Pero como se señala en los comentarios, este enfoque no funciona bien con los recortes. El problema es que los cortes son planos, lo que conduce a complicados límites de integración para r y/o θ , lo que anulará las ventajas de ir a la representación cilíndrica (las coordenadas "polares" están en el plano: los análogos 3D son "cilíndricos", como está usando aquí, o "esféricos").

Veamos los cortes. la primera es en avion y = − 3 (que es automáticamente paralelo al eje x y al eje z). Este plano es tangente al "anillo central" del toro. El otro avión es X = 1 , que pasa por el agujero. Tenga en cuenta que estos dos planos se encuentran dentro del toro. Para establecer el up como una integral en X , y , z , es necesario considerar que para valores dados de X , hay en general dos rangos separados de valores para y que necesitan integrarse, y viceversa. La forma de manejar esto es dividir el toroide en cuadrantes y trabajar cada cuadrante por separado. Dentro de cada cuadrante, sólo hay un rango para X o y ser integrado También podemos hacer lo mismo para z , limitando la atención a z ≤ 0 y z ≥ 0 por separado. Pero en este caso, la geometría es simétrica, por lo que tomaremos el mismo volumen en ambos lados. Así podemos calcular sólo z ≥ 0 , luego duplíquelo para obtener el volumen total.

La ecuación de la superficie del toro es

z 2 + ( X 2 + y 2 − 3 ) 2 = 1
Entonces podemos configurar la integración sobre todo el primer cuadrante como
2 ∫ 0 4 ∫ 0 dieciséis − X 2 ∫ 0 1 − ( X 2 + y 2 − 3 ) 2 d z d y d X

Después de cortar, para cada cuadrante tenemos:

  • Cuadrante 1: 0 ≤ X ≤ 1 , 0 ≤ y

2 ∫ 0 1 ∫ 0 dieciséis − X 2 ∫ 0 1 − ( X 2 + y 2 − 3 ) 2 d z d y d X

  • Cuadrante 2: X ≤ 0 , 0 ≤ y

2 ∫ − 4 0 ∫ 0 dieciséis − X 2 ∫ 0 1 − ( X 2 + y 2 − 3 ) 2 d z d y d X

  • Cuadrante 3: X ≤ 0 , − 3 ≤ y ≤ 0

2 ∫ − 4 0 ∫ − 3 4 − X 2 ∫ 0 1 − ( X 2 + y 2 − 3 ) 2 d z d y d X

  • Cuadrante 4: 0 ≤ X ≤ 1 , − 3 ≤ y ≤ 0

2 ∫ 0 1 ∫ − 3 4 − X 2 ∫ 0 1 − ( X 2 + y 2 − 3 ) 2 d z d y d X

El z la integración es fácil, pero para el y y X integraciones, necesitará algunas sustituciones trigonmétricas.

DE ACUERDO. Si la integral que tienes arriba describe el volumen de toda la dona, entonces todavía necesito calcular cuánto queda de la dona después de quitar 2 piezas. La primera pieza removida es paralela al eje x en y = -3, y la segunda es paralela al eje y en x = 1. ¿Tiene sentido?
Sus "cortes" se definen en términos de X y y , por lo que tiene dos opciones: reescribir su integral en términos de xyz, o averiguar cómo se pueden definir los cortes en términos de r y θ .
@JohnAlberto: publiqué esto tarde en la noche antes de irme a la cama. Lamento que de alguna manera no me di cuenta de que habías descrito los cortes. Aparentemente me salté ese párrafo sin darme cuenta. Corregiré mi mensaje más tarde cuando tenga más tiempo. nukeguy tiene razón - con esos cortes querrás expresar la integración en términos de X , y , z , o posiblemente obtenga el volumen completo de esta integral, luego exprese los cortes en términos de X , y , z .
Gracias nukeguy y Paul. Entiendo que podría ser más sencillo resolver esto en términos de x e y, sin embargo, no he podido resolverlo. Para expresar los cortes en coordenadas polares creo que necesito usar las ecuaciones x=pcos(theta) y y=psin(theta) pero no he podido darles sentido gráficamente.
@JohnAlberto: actualicé mi respuesta con una discusión sobre cómo configurar la integral para X , y , z .
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