Si P1,P2,P3P1,P2,P3P_1,P_2,P_3 se encuentran en el círculo x2+y2=1x2+y2=1x^2+y^2=1, entonces demuestre que P4P4P_4 se encuentra en el círculo.

Question

Si P1,P2,P3P1,P2,P3P_1,P_2,P_3 se encuentran en el círculo x2+y2=1x2+y2=1x^2+y^2=1, entonces demuestre que P4P4P_4 se encuentra en el círculo.

vectores
geometría
Matemáticas
geometría analítica

Vinod Kumar Punia

Dado $4$ puntos $P_1,P_2,P_3,P_4$ en el plano de coordenadas con origen $O$ que satisfacen la condición $\vec{OP_1}+\vec{OP_3}=\frac{3}{2}\vec{OP_2}$ y $\vec{OP_2}+\vec{OP_4}=\frac{3}{2}\vec{OP_3}$
Si $P_1,P_2,P_3$ acostarse en el círculo $x^2+y^2=1$ , luego prueba que $P_4$ se encuentra en el círculo.

Mi intento:
Deja que las coordenadas de $P_1,P_2,P_3,P_4$ ser $(x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3),(x_4,y_4)$ .Según la condición dada,
$x_1+x_3=\frac{3}{2}x_2$
$y_1+y_3=\frac{3}{2}y_2$
$x_2+x_4=\frac{3}{2}x_3$
$y_2+y_4=\frac{3}{2}y_3$
Desde $P_1,P_2,P_3$ acostarse en el círculo $x^2+y^2=1$ .
Entonces, $x_1^2+y_1^2=1.......................(1)$
$x_2^2+y_2^2=1...........................(2)$
$x_3^2+y_3^2=1...........................(3)$
Ahora tenemos que demostrar que $x_4^2+y_4^2=1$
Restar $(3)$ de $(1)$ obtenemos
$x_1^2-x_3^2+y_1^2-y_3^2=0$
$(x_1+x_3)(x_1-x_3)+(y_1+y_3)(y_1-y_3)=0$
$\frac{3}{2}x_2(x_1-x_3)+\frac{3}{2}y_2(y_1-y_3)=0$
$x_2(x_1-x_3)+y_2(y_1-y_3)=0$

Pero estoy atascado aquí y no puedo seguir adelante. Por favor, ayúdenme. Gracias.

Respuestas (1)

Si P1,P2,P3P1,P2,P3P_1,P_2,P_3 se encuentran en el círculo x2+y2=1x2+y2=1x^2+y^2=1, entonces demuestre que P4P4P_4 se encuentra en el círculo.

jonathan hahn · Answer 1

Dejar $P_2'$ ser el punto final de $\frac{3}{2} \overrightarrow{OP_2}$ y $P_3'$ ser el punto final de $\frac{3}{2} \overrightarrow{OP_3}$ . La ecuacion $\overrightarrow{OP_1} + \overrightarrow{OP_3} = \frac{3}{2}\overrightarrow{OP_2}$ implica el triangulo $\Delta OP_3P_2'$ tiene longitudes de lado $1$ , $1$ , y $3/2$ , desde $OP_i$ son vectores unitarios para $i = 1,2,3$ . Este triángulo tiene un ángulo $\angle P_3OP_2'$ entre los lados de longitud $1$ y $3/2$ .

la segunda ecuacion $\overrightarrow{OP_2} + \overrightarrow{OP_4} = \frac{3}{2}\overrightarrow{OP_3}$ implica el triangulo $\Delta OP_2P_3'$ tiene longitudes de lado de $1$ , $||\overrightarrow{OP_4}||$ y $3/2$ . Este triángulo tiene un ángulo de $\angle P_3'OP_2$ entre los lados de longitud $1$ y $3/2$ .

sin embargo, desde $P_3$ y $P_3'$ se encuentran en el mismo rayo desde el origen, y también lo hacen $P_2$ y $P_2'$ , sabemos $\angle P_3'OP_2 \cong \angle P_3OP_2'$ . Entonces los triángulos $\Delta OP_2P_3'$ y $\Delta OP_3P_2'$ son congruentes ya que tienen dos lados de la misma longitud con un ángulo igual entre ellos. De este modo, $||\overrightarrow{OP_4}||$ debe ser la longitud del lado restante de $\Delta OP_2P_3'$ , por eso $||\overrightarrow{OP_4}|| = 1$ , lo que implica $P_4$ está en el círculo unitario.

¡Hermosa solución, enfoque innovador sin usar coordenadas!

Si P1,P2,P3P1,P2,P3P_1,P_2,P_3 se encuentran en el círculo x2+y2=1x2+y2=1x^2+y^2=1, entonces demuestre que P4P4P_4 se encuentra en el círculo.

Vinod Kumar Punia

Respuestas (1)

jonathan hahn

Vinod Kumar Punia

¿Existe un método geométrico posible para encontrar la longitud de este triángulo equilátero?

Perímetro de un triángulo equilátero trazado con respecto a un cuadrado.

Encuentre un plano con una distancia de 333 desde 3x−y−z=03x−y−z=03x-yz = 0

Propiedad de las elipses que involucran normales en los extremos de una cuerda focal y el punto medio de esa cuerda

Mapas de R3R3\mathbb{R}^3 conmutando con el producto cruz

Coseno director de tres rectas mutuamente perpendiculares en 3D

Acerca de las distancias entre un punto y un plano

El volumen de un paralelepípedo p2p2p_2 atravesado por las caras diagonales de otro paralelepípedo p1p1p_1 es el doble del volumen de p1p1p_1.

Dado que el lugar geométrico es un círculo, demuestre que dos líneas son perpendiculares

Demuestre que las asíntotas de una hipérbola son sus tangentes en los puntos infinitos