El volumen de un paralelepípedo p2p2p_2 atravesado por las caras diagonales de otro paralelepípedo p1p1p_1 es el doble del volumen de p1p1p_1.

Question

El volumen de un paralelepípedo p2p2p_2 atravesado por las caras diagonales de otro paralelepípedo p1p1p_1 es el doble del volumen de p1p1p_1.

volumen
vectores
geometría
Matemáticas
Geometría euclidiana

Invisible

Me gustaría probar puramente geométricamente (sin referirme al producto vectorial punto y cruz) lo siguiente:

El volumen de un paralelepípedo. $p_2$ atravesado por las caras diagonales de otro paralelepípedo $p_1$ es el doble del volumen del $p_1$ , es decir $V_{p_2}=2V_{p_1}$ .

La declaración se sigue fácilmente de la definición:

Dejar $\vec a,\vec b,\vec c$ ser vectores de los lados con el mismo origen en un vértice del paralelepípedo $p_1$

\begin{aligned} V_{{pag}_{2}} & = (\vec{b} + \vec{C}) \cdot ((\vec{a} + \vec{C}) \times (\vec{a} + \vec{b})) \\ = (\vec{b} + \vec{C}) \cdot (\underset{= 0}{\underset{⏟}{\vec{a} \times \vec{a}}} + \vec{a} \times \vec{b} + \vec{C} \times \vec{a} + \vec{C} \times \vec{b}) \\ = \underset{= 0}{\underset{⏟}{\vec{b} \cdot (\vec{a} \times \vec{b})}} + \vec{b} (\vec{C} \times \vec{a}) + \underset{= 0}{\underset{⏟}{\vec{b} \cdot (\vec{C} \times \vec{b})}} + \vec{C} \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) + \underset{= 0}{\underset{⏟}{\vec{C} \cdot (\vec{C} \times \vec{a})}} + \underset{= 0}{\underset{⏟}{\vec{C} \cdot (\vec{C} \times \vec{b})}} \end{aligned}

$\begin{aligned}V_{p_2}&=\left(\vec b+\vec c\right)\cdot\left(\left(\vec a+\vec c\right)\times\left(\vec a+\vec b\right)\right)\\&=\left(\vec b+\vec c\right)\cdot\left(\underbrace{\vec a\times\vec a}_{=0}+\vec a\times\vec b+\vec c\times\vec a+\vec c\times\vec b\right)\\&=\underbrace{\vec b\cdot\left(\vec a\times\vec b\right)}_{=0}+\vec b\left(\vec c\times\vec a\right)+\underbrace{\vec b\cdot\left(\vec c\times\vec b\right)}_{=0}+\vec c\cdot\left(\vec a\times\vec b\right)+\underbrace{\vec c\cdot\left(\vec c\times\vec a\right)}_{=0}+\underbrace{\vec c\cdot\left(\vec c\times\vec b\right)}_{=0} \end{aligned}$

Obviamente $\vec c\cdot\left(\vec a\times\vec b\right)=\vec c\cdot\left(\left(\vec a+\vec c\right)\times\left(\vec a+\vec b\right)\right)$ , por lo que el determinante no cambiará al agregar estas filas, es decir,

| \begin{matrix} C_{1} & C_{2} & C_{3} \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{matrix} | = | \begin{matrix} C_{1} & C_{2} & C_{3} \\ a_{1} + C_{1} & a_{2} + C_{2} & a_{3} + C_{3} \\ a_{1} + b_{1} & a_{2} + b_{2} & a_{3} + b_{3} \end{matrix} | .

$\begin{vmatrix}c_1&c_2&c_3\\a_1&a_2&a_3\\b_1&b_2&b_3\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}c_1&c_2&c_3\\a_1+c_1&a_2+c_2&a_3+c_3\\a_1+b_1&a_2+b_2&a_3+b_3\end{vmatrix}.$ Esto significa que el volumen seguirá siendo el mismo siempre que el nuevo paralelepípedo esté atravesado por al menos un lado del vector anterior.

Podemos interpretarlo así: Sea $ABCDEFGH$ sea un paralelepípedo arbitrario y sea

$\begin{aligned}\vec a&=\overrightarrow{AB}\\\vec b&=\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}\\\vec c&=\overrightarrow{AE}\\\vec a+\vec b&=\overrightarrow{AC}\\\vec b+\vec c&=\overrightarrow{ AH}\end{aligned}$ .

Dejar $I\in CD$ calle $\overrightarrow{CI}=\vec a$ entonces el area del paralelogramo $ABIC$ atravesado por los vectores $\vec a$ y $\vec a+\vec b$ es igual al area del paralelogramo $ABCD$ atravesado por los vectores $\vec a,\vec b$ .

A continuación, deja $J, K$ ser puntos s .t. $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{CK}$ .

Entonces los paralelepípedos $ABCDEFGH$ y $ABICHGJK$ tienen bases y alturas iguales, y por lo tanto, volúmenes iguales.

Deja puntos $L,M,N$ mejor $\overrightarrow{NL}=\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{BG}$ .

Entonces $ACKH\cong BIJG\cong FNLM$ .

Imagen:

Sin embargo, no sé cómo seguir probando el volumen de $AFMHCNLK$ es el doble del volumen de $ABICHGJK$ .

¿Puedo pedir consejo para resolver esta tarea?

¡Gracias de antemano!

Respuestas (2)

El volumen de un paralelepípedo p2p2p_2 atravesado por las caras diagonales de otro paralelepípedo p1p1p_1 es el doble del volumen de p1p1p_1.

Ethan Bolker · Answer 1

Aquí hay un comienzo en una prueba más puramente geométrica:

Pon el origen en un vértice y cambia las coordenadas para que el paralelepípedo se convierta en el cubo unitario. Puede hacerlo eligiendo los tres bordes en el origen como vectores base.

Ese cambio de coordenadas escala todos los volúmenes de la misma manera, por lo que conserva la proporción que le interesa.

Para el cubo unitario, las diagonales de las caras son $(0,1,1)$ , $(1,0,1)$ y $(1,1,0)$ . El paralelepípedo que determinan tiene volumen. $2$ porque el jacobiano del cambio de transformación de coordenadas a ese sistema de coordenadas es el determinante

\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{array} = 2.

$\begin{array}{|ccc|} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{array} = 2.$

elliot yu · Answer 2

Has usado la fórmula $\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})$ para el volumen del paralelepípedo atravesado por $\vec{u}$ , $\vec{v}$ , y $\vec{w}$ . De hecho, así es como calculaste el volumen de $p_2$ . Así que en la expresión final para $V_{p_2}$ puedes reconocer los términos $\vec{b}\cdot(\vec{c}\times\vec{a})$ y $\vec{c}\cdot(\vec{a}\times\vec{b})$ tanto como el volumen de $V_{p_1}$ , que debe concluir la prueba.

Tenga en cuenta que el producto triple es invariante bajo la permutación cíclica, por lo que estas dos expresiones son ambas iguales a $\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c})$ . Esto debería tener sentido, porque el orden en que nombramos las tres aristas de un paralelepípedo que se cruzan en un vértice no debería importar, siempre que la orientación sea la misma. Alternativamente, también puede entender esto por el hecho de que los determinantes son invariantes bajo la permutación cíclica de filas.

Gracias por tu respuesta, solo me salté ese paso para continuar con mi pensamiento... 😅 ¡Agradezco tu respuesta!
@Invisible Oh, ya veo. Lo siento, es posible que haya saltado accidentalmente la parte "puramente geométrica" de su pregunta: P

El volumen de un paralelepípedo p2p2p_2 atravesado por las caras diagonales de otro paralelepípedo p1p1p_1 es el doble del volumen de p1p1p_1.

Invisible

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Ethan Bolker

Ethan Bolker

elliot yu

Invisible

elliot yu

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