¿La suma de los diagramas de dos puntos irreducibles de una partícula es siempre un número real?

Question

¿La suma de los diagramas de dos puntos irreducibles de una partícula es siempre un número real?

Física
propagador
1pi-acción-efectiva
teoría cuántica de campos

Te tengo

En la página 388 en la sección 11.6 de Peskin y Shroeder.
Aparece una ecuación del propagador inverso (la segunda derivada funcional de la acción efectiva) para una teoría que contiene varios campos escalares:

\begin{matrix} (11.105) & k_{i j}^{2} =: \int d^{4} X {mi}^{i pag \cdot (X - y)} \frac{d^{2} Γ}{d ϕ^{i} d ϕ^{j}} (X, y) = 0 \end{matrix}

$K^2_{ij} =: \int d^4x e ^{ip\cdot (x-y)}\frac{\delta^2 \Gamma}{\delta \phi^i\delta \phi^j}(x,y)=0 \tag{11.105}$ Al diagonalizar

k_{i j}^{2} = {PAG}_{i k} {PAG}_{j yo} {\tilde{k}}_{k yo}^{2} = (PAG \tilde{k} {PAG}^{t})_{i j}, PAG :una matriz ortogonal

$K^2_{ij} = P_{ik}P_{jl}\tilde{K}^2_{kl} = (P\tilde{K}P^t)_{ij} \, , \quad P \,\text{:an orthogonal matrix}$ la propiedad que

K_{i j}^{2}

$K^2_{ij}\,$ : real es necesario. Después de diagonalizar

{\tilde{k}}_{i i}^{2} = {pag}^{2} - {metro}_{i 0}^{2} - {METRO}_{i}^{2} ({pag}^{2}) yo: sin suma,

$\tilde{K}^2_{ii}=p^2-m_{i0}^2-M_i^2(p^2) \quad\quad\text{i : no sum} \, ,$ dónde

m_{i 0}

$m_{i0}$ es la masa desnuda del

i

$i$ el campo escalar y

M_{i}^{2} (p^{2})

$M_i^2(p^2)$ es la suma de diagramas de dos puntos irreducibles de una partícula.
Es

M_{i}^{2} (p^{2})

$M_i^2(p^2)$ siempre un número real?
Eso es simplemente porque

{\tilde{k}}_{i i}^{2} = 0 \Leftrightarrow {metro}_{i}^{2} = {metro}_{i 0}^{2} - {METRO}_{i}^{2} ({metro}_{i}^{2}) ?

$\tilde{K}^2_{ii}=0 \quad \Leftrightarrow \quad m_i^2=m_{i0}^2-M_i^2(m_i^2) \quad ?$ ,dónde

m_{i}

$m_i$ es la masa física.
¿Esa es toda la historia? ¿Hay alguna otra razón?
Gracias.

AccidentalFourierTransformar

Tenga en cuenta que

M^{2} (p^{2})

$M^2(p^2)$ puede adquirir una parte imaginaria distinta de cero en el umbral de producción de pares (corte de rama) si el modelo tiene partículas inestables.

juegobm

@AccidentalFourierTransform ¿Podría comentar también la respuesta de Adam, que señala que el potencial efectivo siempre es real desde el punto de vista de la integral de trayectoria después de la rotación de Wick?

Respuestas (1)

¿La suma de los diagramas de dos puntos irreducibles de una partícula es siempre un número real?

Tenga en cuenta que $M^2(p^2)$ puede adquirir una parte imaginaria distinta de cero en el umbral de producción de pares (corte de rama) si el modelo tiene partículas inestables.
@AccidentalFourierTransform ¿Podría comentar también la respuesta de Adam, que señala que el potencial efectivo siempre es real desde el punto de vista de la integral de trayectoria después de la rotación de Wick?

Adán · Answer 1

Adán

La matriz $K_{ij}$ definido por el OP es solo la segunda derivada del potencial efectivo (ver Una pregunta sobre la prueba del teorema de Goldstone ). Siendo el potencial efectivo una función real de los campos. De hecho, es la transformada de Legendre del logaritmo del funcional generador, que, después de la rotación de Wick (y usando notaciones de física estadística cuántica), se define como

Z = ⟨ {mi}^{- β (\hat{H} + j_{i} \int_{X} {\hat{ϕ}}_{i} (X))} ⟩,

$Z=\langle e^{-\beta (\hat H+J_i \int_x\hat \phi_i(x))} \rangle,$ donde el hamiltoniano en presencia de fuentes (constantes) es hermitiano. Esto implica que

Z

$Z$ es real (simplemente diagonalizando el hamiltoniano), y por lo tanto también lo es el potencial efectivo.

Su segunda derivada, evaluada en su mínimo, es por lo tanto una matriz simétrica real, que puede ser diagonalizada, con valores propios positivos (o cero).

Sin la rotación de Wick, el potencial efectivo podría ser puramente imaginario según su definición, pero esto no cambia el argumento.

juegobm

Con respecto a los comentarios anteriores de AccidentalFourierTransform, ¿entonces Z no es necesariamente real? Pero es necesario en el sentido de que la masa debe ser definida no negativa. ¿Puedes dar más comentarios?

Adán

@gamebm: Los comentarios de AccidentalFourierTransform se refieren al hecho de que algunos propagadores pueden tener polos en el plano complejo (y no solo en la línea real), debido a la descomposición de una partícula en otro tipo de partícula. Pero esto sucede después de la rotación de Wick, y no cambia el hecho de que uno puede diagonalizar la matriz.

K

$K$ .

juegobm

Sigo sin entender. La derivada de segundo orden de

Γ

$\Gamma$ está relacionado con el propagador inverso (ecuaciones (11.90) y (11.92) en el libro de texto), a saber,

p^{2} - m^{2} - M^{2} (p^{2})

$p^2-m^2-M^2(p^2)$ . Si el polo de masa está en el plano complejo, la

M^{2}

$M^2$ parte de la expresión no es real. Según su derivación,

Z

$Z$ ,

Γ

$\Gamma$ , y por tanto las segundas derivadas del potencial efectivo son reales. Así que me quedé ahí, ¿la segunda derivada debería ser real o no? Sé que obviamente me perdí algo. ¿Podría ser más específico en la parte "después de la rotación de Wick", muchas gracias!

Adán

@juegobm:

x^{2} + 1

$x^2+1$ es real, pero sus ceros son imaginarios... aunque puede ser un ejemplo demasiado simple, eso podría ayudarte.

juegobm

gracias por la respuesta! Veo que apuntas. Pero para esta pregunta en particular, ¿es literalmente el caso? Para los estados de resonancia, según el libro de texto (alrededor de la página 235, cuando dos propagadores se conectan simultáneamente a la carcasa),

M^{2}

$M^2$ de hecho poseen partes reales e imaginarias que no desaparecen. ¿Cómo encaja esto en el contexto? Gracias de antemano por las explicaciones adicionales.

Adán

¿Tienes la página/ecuación precisa?

juegobm

P.237 (7.58), la expresión debajo de ella y (7.61). Las discusiones comienzan en la página 232 sobre el "teorema óptico" en los cálculos del diagrama de Feynman (el iPT de 2 puntos es un caso particular). Establece que cuando es posible que dos propagadores vayan a la cáscara simultáneamente (relacionado con un corte que pasa por dos líneas internas), hay un adicional

i

$i$ factor, que posiblemente da lugar a la parte imaginaria. Luego se trata el caso de "partícula inestable" como ejemplo. la verdadera parte de

M^{2}

$M^2$ va a la corrección de masa, mientras que la parte imaginaria contribuye a la vida media.

Adán

@gamebm: esto sucede porque

p

$p$ tiene una pequeña parte imaginaria

i ϵ

$i\epsilon$ , para obtener un propagador retardado. Pero mientras trabaje en el espacio-tiempo euclidiano (donde todo está bien definido), la energía propia es real (hasta factores triviales provenientes de las definiciones del potencial, etc.)

juegobm

No estoy seguro de entender, la pequeña parte imaginaria en la masa siempre está ahí, incluso para partículas estables, aquí el libro es una discusión sobre la resonancia y las reglas de Feynman que conducen a una contribución imaginaria finita. Los cálculos allí muestran explícitamente cómo sucede, esto es cuando uno puede cortar dos propagadores simultáneamente, especifique cómo se puede entender en términos de integral en el espacio euclidiano. Mis disculpas por la ignorancia.

Adán

En el espacio-tiempo euclidiano, todos los diagramas son reales (hasta factores triviales dependiendo de las definiciones, etc.). Por lo tanto, no hay parte imaginaria. Cuando uno está interesado en el tiempo real (por ejemplo, la descomposición de una partícula), uno necesita continuar analíticamente los propagadores, usando

i p_{0} \to p_{0} + i ϵ

$ip_0\to p_0+i\epsilon$ , así es como puede aparecer una parte imaginaria finita. Ver arxiv:1108.5207 sección IV para un cálculo explícito + continuación analítica.

juegobm

Realmente apreciado por los comentarios! Entiendo que

Z

$Z$ en el espacio euclidiano es real, ya que la integral de trayectoria es equivalente a la función de partición que es definida positiva. Sin embargo, mi duda es desde un punto de vista diferente, según los comentarios de AccidentalFourierTransform, que involucra el cálculo explícito de la corrección de energía propia, y la parte imaginaria no es infinitesimal, sino finita, la primera implica una partícula estable, la segunda corresponde a un estado de resonancia con un tiempo de vida finito. ¿Puede comentar explícitamente sobre esto y su relación?

Adán

@gamebm: sí, la parte imaginaria puede ser finita, pero esto es así solo cuando estás en el espacio-tiempo de minkowski. Si aún no está claro, le sugiero que haga una nueva pregunta. Eso sería más fácil de responder que en los comentarios aquí.

juegobm

Listo, publiqué una nueva pregunta, ¡gracias!

juegobm

física.stackexchange.com/questions/358329/…

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