¿Cómo entender correctamente estas "inserciones irreducibles de 1 partícula"?

Question

¿Cómo entender correctamente estas "inserciones irreducibles de 1 partícula"?

Física
energía propia
Feynman-diagramas
1pi-acción-efectiva
teoría cuántica de campos
electrodinámica-cuántica

Oro

En QED, cuando se trata de la polarización del vacío y el propagador de fotones, algunos autores como Peskin & Schroeder introducen los llamados diagramas "irreducibles de 1 partícula". Estos se definen como:

Definamos un diagrama irreducible de una partícula (1PI) como cualquier diagrama que no se pueda dividir en dos quitando una sola línea.

Entonces, esta es una "definición gráfica", de modo que, dado un diagrama, determinamos si es un 1PI o no al observar si una línea se puede eliminar o no, dejando dos diagramas que tienen sentido por sí mismos.

Eso lo entiendo. Lo que no entiendo es que Peskin & Schroeder haga lo siguiente: considere la corrección de 1 bucle para el propagador de fotones. Ese sería el diagrama de polarización del vacío.

Los autores denotan su valor por $i\Pi_2^{\mu\nu}(p)$ . Luego definen $i\Pi^{\mu\nu}(p)$ ser "la suma de todas las inserciones 1PI en el propagador de fotones". Esto se ilustra mediante la ec. (7.72)

Luego dicen en la parte inferior de la p. 245 que la función exacta de dos puntos es

Ahora no entiendo lo que está haciendo aquí. Por ejemplo, afirma que para $\Pi^{\mu\nu}(q)$ la identidad de Ward se mantiene $q_\mu \Pi^{\mu\nu}(q)=0$ .

Mi pregunta es:

¿Cuál es la motivación para definir este $\Pi^{\mu\nu}$ , a saber, considerar que "inserciones irreducibles de 1 partícula"?
¿Cómo lidiamos matemáticamente con eso? Debido a que solo tengo una definición "pictórica" de lo que es un solo 1PI, no tengo idea de lo que realmente significa considerar "todas las posibles inserciones de 1PI", y esto me confunde.
¿Por qué el propagador completamente vestido que se define como la transformada de Fourier de $\langle \Omega |T\{A^{\mu}(x)A^{\nu}(y)\}|\Omega\rangle$ se expande como esa suma? El autor no parece probar eso.

Editar: según las respuestas que estaba pensando y creo que el punto es que en la última ecuación, el segundo término en el RHS es la suma de todos los 1PI, el segundo es la suma de todos los diagramas con dos piezas de 1PI y así sucesivamente.

Pero parece que el autor da a entender que: "la suma de todos los diagramas con dos piezas de 1PI es igual al producto de dos sumas de todos los 1PI". Es decir, creo que el autor está tratando de escribir lo siguiente (escribir $G_0^{\mu\nu}$ para el propagador desnudo).

{GRAMO}^{m v} = {GRAMO}_{0}^{m v} + {GRAMO}_{0}^{m α} Π_{α β} {GRAMO}_{0}^{β v} + {GRAMO}_{0}^{m α} Π_{α β} {GRAMO}_{0}^{β ρ} Π_{ρ σ} {GRAMO}_{0}^{σ v}

$G^{\mu\nu}=G_0^{\mu\nu}+G_0^{\mu\alpha}\Pi_{\alpha\beta}G_0^{\beta\nu}+G_0^{\mu\alpha}\Pi_{\alpha\beta}G_0^{\beta\rho}\Pi_{\rho\sigma}G_0^{\sigma\nu}$

ahora he tratado de entender por qué la "suma de todos los diagramas con dos piezas 1PI" es en realidad eso, pero creo que no lo entiendo.

Sean dados dos diagramas que se descomponen en dos piezas de 1PI cada una. El primer diagrama tiene piezas 1PI con valores $I_{\alpha\beta}$ y $II_{\alpha\beta}$ mientras que el segundo tiene valores $I'_{\alpha\beta}$ y $II'_{\alpha\beta}$ . Sumándolos tenemos

{GRAMO}_{0}^{m α} I_{α β} {GRAMO}_{0}^{β ρ} I I_{ρ σ} {GRAMO}_{0}^{σ v} + {GRAMO}_{0}^{m α} I_{α β}^{'} {GRAMO}_{0}^{β ρ} I I_{ρ σ}^{'} {GRAMO}_{0}^{σ v} = {GRAMO}_{0}^{m α} (I_{α β} {GRAMO}_{0}^{β ρ} I I_{ρ σ} + I_{α β}^{'} {GRAMO}_{0}^{β ρ} I I_{ρ σ}^{'}) {GRAMO}_{0}^{σ v}

$G_0^{\mu\alpha}I_{\alpha\beta}G_0^{\beta\rho}II_{\rho\sigma}G_0^{\sigma\nu}+G_0^{\mu\alpha}I'_{\alpha\beta}G_0^{\beta\rho}II'_{\rho\sigma}G_0^{\sigma\nu}=G_0^{\mu\alpha}(I_{\alpha\beta}G_0^{\beta\rho}II_{\rho\sigma}+I'_{\alpha\beta}G_0^{\beta\rho}II'_{\rho\sigma})G_0^{\sigma\nu}$

ahora no puedo reducir esto a algo con $I+I'$ y $II+II'$ que creo que es lo que necesito. ¿Qué está mal en mi razonamiento?

qmecanico

Relacionado: physics.stackexchange.com/q/440789/2451

Respuestas (2)

¿Cómo entender correctamente estas "inserciones irreducibles de 1 partícula"?

una mente curiosa · Answer 1

una mente curiosa

Realmente no hay mucha motivación excepto que es útil .
Realmente no hay mucho con lo que lidiar: tienes el conjunto de todos los diagramas de Feynman. Usted define que un diagrama 1PI es uno que no puede convertirse en dos diagramas separados no triviales cortando una sola línea. Entonces, cada diagrama que no es 1PI tiene esa línea. Las dos piezas que obtienes después de cortar la línea única son 1PI o no, si no, repites el proceso. Esto descompone cada diagrama como una cadena de diagramas 1PI, por lo que el conjunto de todos los diagramas es la unión de "diagramas 1PI", "2 diagramas 1PI conectados por una línea", "3 diagramas 1PI conectados por una línea", y así sucesivamente. Decir que uno considera "todas las inserciones 1PI posibles" en el propagador simplemente significa que uno considera la suma de todos los diagramas 1PI con dos patas externas.
No hay nada que probar, de verdad. Comienza por saber que el propagador vestido es la suma de todos los diagramas, y dado que las cadenas de diagramas 1PI agotan todos los diagramas, puede escribir la suma de todos los diagramas como la suma de los diagramas 1PI más la suma de los 2 diagramas 1PI más el suma sobre los 3 diagramas 1PI y así sucesivamente. Esta expansión es útil (como probablemente verá en breve en el texto que está leyendo) porque produce una serie geométrica en las contribuciones de 1PI, lo que nos permite concluir que las contribuciones de 1PI son precisamente el cambio de masa entre lo desnudo y lo vestido. partículas

Oro

Así que déjame ver si lo hice bien. Elijo un diagrama, un fotón entrante, algo arbitrario en el medio y un fotón saliente. Si no es un 1PI, hay una línea en el medio que se puede dividir para producir dos diagramas. Entonces su forma debe ser como en la segunda figura: fotón-fotón-arbitrario-fotón-arbitrario. Ahora, le repito esto a esta cosa "arbitraria" hasta que ya no se pueda hacer más. Entonces cualquier diagrama con dos patas externas es una cadena de 1PI y su valor es el producto de todos esos 1PI. Esto rompe el conjunto de diagramas como dijiste, ¿verdad?

Oro

Ahora, al calcular el propagador vestido, primero sumo todos los 1PI, este es el segundo término en la última figura con dos fotones externos y un bucle con 1PI adentro. Luego elijo los 2 1PI conectados por una línea y los sumo todos. Este es el tercer término en la última figura, simbolizado por dos fotones externos y dos círculos con 1PI adentro. ¿Es ese el punto?

una mente curiosa

@ user1620696 Sí, entendiste correctamente.

Oro

Solo una cosa, al escribir la serie geométrica de la que hablas, en algo me estoy equivocando. De la última figura que publiqué, el autor parece implicar que "la suma de los 2 diagramas 1PI conectados por una línea" es lo mismo que el producto de dos sumas de todos los diagramas 1PI junto con un propagador de fotones en el medio. Así que el primer diagrama que escribe como

G_{0}^{μ α} Π_{α β} G_{0}^{β ν}

$G_0^{\mu\alpha}\Pi_{\alpha\beta}G_0^{\beta\nu}$ y el segundo

G_{0}^{μ α} Π_{α β} G_{0}^{β ρ} Π_{ρ σ} G_{0}^{σ ν}

$G_0^{\mu\alpha}\Pi_{\alpha\beta}G_0^{\beta\rho}\Pi_{\rho\sigma}G_0^{\sigma\nu}$ ser

G_{0}

$G_0$ el propagador de fotones desnudo. En mi edición no parece funcionar. ¿Qué ocurre?

una mente curiosa

@ user1620696 Realmente no entiendo lo que está haciendo en su edición, pero la idea es que es una variante del producto Cauchy . Solo mire las dos sumas, por un lado, la "suma de los 2 diagramas 1PI conectados por una línea", por el otro, "la suma de todos los diagramas 1PI multiplicada por el multiplicador de la suma de todos los diagramas 1PI". Debería poder convencerse de que estos son en realidad los mismos conjuntos de diagramas , es decir, hay una biyección allí. De cada par de diagramas 1PI obtienes un "diagrama 2 1PI con una línea" y viceversa. Eso es todo.

Oro

Creo que entendí tu punto. Dado el conjunto de todos los diagramas con dos patas externas

D_{2}

$\mathcal{D}_2$ podemos introducir un producto en él definiendo

D_{1} D_{2}

$D_1D_2$ ser el diagrama que se obtiene uniendo el tramo saliente de

D_{1}

$D_1$ y la pierna entrante de

D_{2}

$D_2$ . Entonces tenemos eso para

D \in D_{2}

$D\in \mathcal{D}_2$ hay

D_{1}, \dots, D_{k}

$D_1,\dots,D_k$ todo 1PI con

D = D_{1} \dots D_{k}

$D = D_1\cdots D_k$ . Por lo tanto, todos los "2 1PI con una línea" son diagramas de la forma

D_{i} D_{j}

$D_iD_j$ con

D_{i}, D_{j}

$D_i,D_j$ 1PI y queremos

\sum D_{i} D_{j}

$\sum D_i D_j$ por eso es una variante del producto de Cauchy. Al final esto se convierte

\sum D_{i} \sum D_{j}

$\sum D_i \sum D_j$ y tenemos el resultado. Eso es todo, ¿verdad?

una mente curiosa

@ user1620696 ¡Sí, exactamente!

Javier · Answer 2

El punto de definir los diagramas 1PI es que calcular todos los diagramas (incluidos los reducibles) es redundante. Digamos que ya calculó el orden más bajo para la energía propia, el diagrama con un bucle de electrones. ¿Qué sucede si tiene un bucle de electrones y luego otro bucle de electrones (un poco como su segunda imagen)? ¿Es eso más difícil? No, es solo el valor de un bucle de electrones al cuadrado. Entonces, si solo calculamos los diagramas 1PI, podemos obtener todos los diagramas con muy poco trabajo adicional.

Todas las inserciones posibles de 1PI solo significan que dentro del círculo sombreado puedes poner cualquier cosa siempre que se conecte con las líneas externas y sea 1PI. La intuición pictórica es una buena intuición porque, nuevamente, el punto de los diagramas 1PI es simplificar. Si un diagrama se puede separar por la mitad con un solo corte, entonces es solo el producto de dos diagramas más simples.

En cuanto al propagador, recuerde que anteriormente en el libro calculó la función de dos puntos para el campo escalar y resultó ser la suma de todos los diagramas con dos puntos externos en posiciones fijas. $x$ y $y$ . La transformada de Fourier es solo la versión espacial de momento de eso. Y la suma de todos los diagramas posibles con dos fotones externos es lo que P&S dibuja en la segunda imagen, por definición de 1PI: si algún diagrama no es 1PI, se puede separar en dos partes de 1PI.

Con respecto a su edición: lo que afirma el libro solo es cierto si incluye todos los diagramas en un orden determinado. En tu ejemplo, te has perdido que también deberías tener un $I'-II$ y un $I-II'$ diagrama. La suma de los cuatro te dará lo que quieres.

Creo que lo estoy consiguiendo. Entonces, en la última figura que publiqué, el primer término es el propagador desnudo, el segundo es la suma de todos los diagramas 1PI, el tercero es la suma de las 2 piezas de 1PI conectadas por una línea y así sucesivamente. Un diagrama arbitrario es una cadena de 1PI, por lo que estará dentro de algunas de estas sumas y las tenemos todas. ¿Es esta la idea?
@ user1620696 He respondido la parte editada de su pregunta.
ahora veo. Si solo elijo dos diagramas con 2 piezas de 1PI y las sumo, esto no resultará ser un producto de las dos sumas con un propagador. Esto sucederá solo cuando los incluyamos a todos, que es lo que quiso decir el autor. ¿Es ese el punto?

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