Prueba de dos identidades de álgebra de Lorentz

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Prueba de dos identidades de álgebra de Lorentz

Física
matrices de dirac
Álgebra de Clifford
relatividad especial
deberes-y-ejercicios

simon fromme

Actualmente estoy trabajando en el texto de introducción de QFT de Peskin y Schroeder y trato de completar dos identidades que no pude probar (debería ser bastante simple, pero mi experiencia con este tipo de cálculos es limitada).

$[γ^{m}, S^{ρ σ}] = (j^{ρ σ})^{m}_{v} γ^{v}$ $[\gamma^{\mu}, S^{\rho\sigma}] = (\mathcal{J}^{\rho\sigma}~)^{\mu}{}_{\nu}\gamma^{\nu}$ dónde $\gamma^{\mu}$ son las matrices gamma en la representación de Weyl (no creo que la representación específica importe), $S^{\rho\sigma} = \frac{i}{4}[\gamma^{\rho}, \gamma^{\sigma}~]$ y $(\mathcal{J}^{\rho\sigma}~)_{\mu\nu} = i(\delta^{\rho}{}_{\mu}~\delta^{\sigma}{}_{\nu} - \delta^{\rho}{}_{\nu}~\delta^{\sigma}{}_{\mu})$ una representación específica del álgebra de Lorentz.
$(1 + \frac{i}{2} ω_{ρ σ} S^{ρ σ}) γ^{m} (1 - \frac{i}{2} ω_{ρ σ} S^{ρ σ}) = {(1 - \frac{i}{2} ω_{ρ σ} j^{ρ σ})}^{m}_{v} γ^{v}$ $\left(1+\frac{i}{2}\omega_{\rho\sigma}~S^{\rho\sigma}\right)\gamma^\mu\left(1-\frac{i}{2}\omega_{\rho\sigma}~S^{\rho\sigma}\right) = \left(1-\frac{i}{2}\omega_{\rho\sigma}~\mathcal{J}^{\rho\sigma}\right)^{\mu}{}_{\nu}~\gamma^{\nu}$ usando el resultado de 1. Especialmente no entiendo dónde está el término $\frac{1}{4} ω_{ρ σ} S^{ρ σ} γ^{m} ω_{ρ σ} S^{ρ σ}$ $\dfrac{1}{4}\omega_{\rho\sigma}~S^{\rho\sigma}\gamma^{\mu}\omega_{\rho\sigma}~S^{\rho\sigma}$ ¿va a?

Gerben

Para 1, ¿ha intentado lo siguiente? Escriba nuestro

S

$S$ en términos de martices gamma, escribir completamente los conmutadores, luego barajar las matrices gamma usando su anticonmutador para hacer que los términos se cancelen entre sí hasta que solo queden términos con una matriz gamma?

Brian polillas

@SimonFromme Con respecto a su último punto,

ω

$\omega$ es pequeño, por lo que simplemente establece el

ω^{2}

$\omega^2$ término a cero.

simon fromme

Podría simplificar la primera identidad a

[γ^{μ}, S^{ρ σ}] = i (g^{μ ρ} γ^{σ} - g^{μ σ} γ^{ρ})

$[\gamma^{\mu}, S^{\rho\sigma}] = i(g^{\mu\rho}\gamma^{\sigma}-g^{\mu\sigma}\gamma^{\rho})$ pero no sabía cómo continuar.

simon fromme

Ok, en realidad es bastante trivial continuar. Lo entiendo ahora :)

Respuestas (1)

Prueba de dos identidades de álgebra de Lorentz

Para 1, ¿ha intentado lo siguiente? Escriba nuestro $S$ en términos de martices gamma, escribir completamente los conmutadores, luego barajar las matrices gamma usando su anticonmutador para hacer que los términos se cancelen entre sí hasta que solo queden términos con una matriz gamma?
@SimonFromme Con respecto a su último punto, $\omega$ es pequeño, por lo que simplemente establece el $\omega^2$ término a cero.
Podría simplificar la primera identidad a $[\gamma^{\mu}, S^{\rho\sigma}] = i(g^{\mu\rho}\gamma^{\sigma}-g^{\mu\sigma}\gamma^{\rho})$ pero no sabía cómo continuar.
Ok, en realidad es bastante trivial continuar. Lo entiendo ahora :)

simon fromme · Answer 1

Ya que finalmente acerté con la primera, también podría responder mi propia pregunta.

\begin{aligned} [γ^{m}, S^{ρ σ}] & = \frac{i}{4} [γ^{m}, [γ^{ρ}, γ^{σ}]] \\ = \frac{i}{4} (γ^{m} γ^{ρ} γ^{σ} - γ^{m} γ^{σ} γ^{ρ} - γ^{ρ} γ^{σ} γ^{m} + γ^{σ} γ^{ρ} γ^{m}) \\ = \frac{i}{4} ([2 {gramo}^{m ρ} - γ^{ρ} γ^{m}] γ^{σ} - [2 {gramo}^{m σ} - γ^{σ} γ^{m}] γ^{ρ} - γ^{ρ} γ^{σ} γ^{m} + γ^{σ} γ^{ρ} γ^{m}) \\ = \frac{i}{4} (- γ^{ρ} [2 {gramo}^{m σ} - γ^{σ} γ^{m}] + γ^{σ} [2 {gramo}^{m ρ} - γ^{ρ} γ^{m}] - γ^{ρ} γ^{σ} γ^{m} + γ^{σ} γ^{ρ} γ^{m}) + \frac{i}{2} ({gramo}^{m ρ} γ^{σ} - {gramo}^{m σ} γ^{ρ}) \\ = i ({gramo}^{m ρ} γ^{σ} - {gramo}^{m σ} γ^{ρ}) \\ = i (d_{m}^{ρ} d_{v}^{σ} - d_{m}^{σ} d_{v}^{ρ}) {gramo}^{m v} γ^{v} \\ = {(j^{σ ρ})}_{v}^{m} γ^{v} \end{aligned}

$\begin{align*} [\gamma^{\mu}, S^{\rho\sigma}] &= \dfrac{i}{4}[\gamma^{\mu}, [\gamma^{\rho}, \gamma^{\sigma}]] \\ &= \dfrac{i}{4}\left( \gamma^{\mu}\gamma^{\rho}\gamma^{\sigma} - \gamma^{\mu}\gamma^{\sigma}\gamma^{\rho} - \gamma^{\rho}\gamma^{\sigma}\gamma^{\mu} + \gamma^{\sigma}\gamma^{\rho}\gamma^{\mu}\right) \\ &= \dfrac{i}{4}\left( [2g^{\mu\rho} - \gamma^{\rho}\gamma^{\mu}]\gamma^{\sigma} - [2g^{\mu\sigma} - \gamma^{\sigma}\gamma^{\mu}]\gamma^{\rho} - \gamma^{\rho}\gamma^{\sigma}\gamma^{\mu} + \gamma^{\sigma}\gamma^{\rho}\gamma^{\mu}\right) \\ &= \dfrac{i}{4}\left(-\gamma^{\rho}[2g^{\mu\sigma}-\gamma^{\sigma}\gamma^{\mu}] + \gamma^{\sigma}[2g^{\mu\rho}-\gamma^{\rho}\gamma^{\mu}] - \gamma^{\rho}\gamma^{\sigma}\gamma^{\mu} + \gamma^{\sigma}\gamma^{\rho}\gamma^{\mu}\right) + \dfrac{i}{2}\left( g^{\mu\rho}\gamma^{\sigma} - g^{\mu\sigma}\gamma^{\rho}\right)\\ &= i\left( g^{\mu\rho}\gamma^{\sigma} - g^{\mu\sigma}\gamma^{\rho}\right) \\ &= i \left( \delta^{\rho}_{~\mu}\delta^{\sigma}_{~\nu} -\delta^{\sigma}_{~\mu}\delta^{\rho}_{~\nu} \right)g^{\mu\nu}\gamma^{\nu} \\ &= \left( \mathcal{J}^{\sigma\rho} \right)^{\mu}_{~\nu}\gamma^{\nu} \end{align*}$

Al tomar en consideración que $\omega$ es infinitesimal la segunda identidad es trivial. Despreciando los términos de orden superior en $\omega$ y usando $(1)$ rendimientos

\begin{aligned} (1 + \frac{i}{2} ω_{ρ σ} S^{ρ σ}) γ^{m} (1 - \frac{i}{2} ω_{ρ σ} S^{ρ σ}) & = γ^{m} + \frac{i}{2} ω_{ρ σ} [S^{ρ σ}, γ^{m}] \\ = {(1 - \frac{i}{2} ω_{ρ σ} j^{ρ σ})}^{m}_{v} γ^{v} \end{aligned}

$\begin{align*} \left(1+\frac{i}{2}\omega_{\rho\sigma}~S^{\rho\sigma}\right)\gamma^\mu\left(1-\frac{i}{2}\omega_{\rho\sigma}~S^{\rho\sigma}\right) &= \gamma^\mu + \frac{i}{2}\omega_{\rho\sigma}[S^{\rho\sigma}, \gamma^\mu]\\ &= \left(1-\frac{i}{2}\omega_{\rho\sigma}~\mathcal{J}^{\rho\sigma}\right)^{\mu}{}_{\nu}~\gamma^{\nu} \end{align*}$

Bueno, sin ser mas especifico tu comentario no es de mucha ayuda

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