La quinta matriz gamma y los campos de fermiones

Soy consciente de las diversas relaciones con los espinores de Dirac y la quiralidad, pero ¿cómo funciona la quinta matriz gamma? γ 5 comportarse con campos de fermiones, ψ ?

¿Tiene la quinta matriz gamma alguna relación particular de conmutación con ψ que se puede manipular?

Mi problema ha surgido de la evaluación del conmutador, [ q a 5 , q b 5 ] dónde,

q a ≡ ∫ d 3 X   ψ r † ( X ) ( T a ) r s γ 5 ψ s ( X )

He determinado el álgebra para [ q a , q b ] (como arriba sin γ 5 en) pero no estoy seguro de cómo proceder con la inclusión de γ 5 .

Para responderme a mi mismo... 1 2 ( 1 ± γ 5 ) ψ = ψ R , L y entonces γ 5 ψ = ψ R − ψ L y el problema se puede resolver al darse cuenta de que [ γ 5 , T a ] r s ψ s ( X ) = 0 como creo que probé aquí math.stackexchange.com/a/1743587/272850

Respuestas (1)

En el espacio espinoso, los campos fermiónicos ψ son vectores, por ejemplo en la representación 4x4 de la γ -matrices:

ψ † = ( ψ 1 ∗ ψ 2 ∗ ψ 3 ∗ ψ 4 ∗ ) T

y

ψ = ( ψ 1 ψ 2 ψ 3 ψ 4 )

dónde ψ 1 a ψ 4 denote los componentes del espinor. Entonces, la expresión que diste arriba es de la forma: vector de fila por matriz por vector de columna. Que en general es solo un número. Esto también aclara por qué las matrices posiblemente pueden conmutar con el campo, la multiplicación de matrices ya no tendría sentido.

Para continuar con su pregunta (los siguientes son consejos ya que no quiero resolver el problema por usted y son más bien generales. Si desea un consejo más específico, con gusto lo ayudaré). Por lo general, uno tiene dispersión entre partículas de cierto momento. Por lo tanto, uno primero querría usar una transformada de Fourier (expansión de onda plana) del campo para transformar el espacio de momento.

Después de eso, un truco útil es notar que:

ψ † Γ ϕ = t r a C mi ( Γ ϕ ψ † )

para dos espinores cualesquiera ψ , ϕ dónde Γ es cualquier combinación de matrices de Dirac. Puede convencerse de esta identidad escribiéndola en componentes como lo hice anteriormente.

Luego, se pueden usar identidades completas en el espacio de Fourier para obtener los resultados requeridos en términos de impulso, etc. También tenga en cuenta que generalmente se calcula el elemento de matriz al cuadrado, que es su expresión al cuadrado (o algo con una estructura similar). Esto simplifica los cálculos si las matrices se organizan de manera conveniente (tenga en cuenta que puede transponer números de Dirac ya que no tienen estructura de Dirac).

Gracias por no dar un spoiler :) me permitió profundizar bastante en QCD y entender los orígenes de esta relación que resulta ser la Corriente Vectorial Axial Parcialmente Conservada (PCAC) y que tiene que ver con el vacío QCD. ¡Esto tiene sentido ya que el problema fue planteado por un investigador de QCD! Sin embargo, me confunde que hayas dicho que las matrices conmutan con el campo. Me parece de mi lectura más reciente que no lo hacen como 1 2 ( 1 ± γ 5 ) ψ = ψ R , L y entonces γ 5 ψ = ψ R − ψ L Aunque creo que habré resuelto el problema...
tengo la impresión de que [ γ 5 , T a ] ψ ( X ) = 0 y pasó algún tiempo investigando documentos sobre PCAC para intentar probarlo. Al hacerlo, encontré una pregunta interesante que parece haber sido planteada por alguien atrapado en el mismo problema y creo que tengo una prueba convincente en mi respuesta math.stackexchange.com/a/1743587/272850
Siéntase libre de criticar lo anterior, ya que agradecería cualquier problema por cierto.
@AlexanderMcFarlane Me temo que podría haber entendido mal tu pregunta. Pensé que era un problema estándar sobre matrices gamma y no me di cuenta de la estructura SU (3). El punto principal al que estaba tratando de llegar es el papel de los espinores como vectores de columna y fila, ya que pensé que eso era en lo que estabas atascado. Pero aparentemente no lo es, me disculpo y lo pensaré de nuevo.
No se preocupe, agradezco los comentarios y, sin embargo, me dieron algunas cosas interesantes en las que pensar.
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