Invariancia de Lorentz de la ecuación de onda

Quiero mostrar que la ecuación de onda 2-d es invariante bajo un impulso, por lo tanto, el punto de partida es la ecuación de onda

∂ 2 ϕ ∂ X 2 = 1 C 2 ∂ 2 ϕ ∂ t 2

y la transformación de Lorentz:

t ′ = γ ( t − v C 2 X ) X ′ = γ ( X − v t )

Mi pregunta es ¿debo escribir? ∂ ∂ t como un derivado con respecto a X ′ y t ′ y luego sustituir?

Trabajo realizado hasta ahora

∂ ∂ t = ∂ ∂ X ′ ∂ X ′ ∂ t + ∂ ∂ t ′ ∂ t ′ ∂ t = − γ v ∂ ∂ X ′ + γ ∂ ∂ t ′

∂ 2 ∂ t 2 = ∂ ∂ t ( ∂ ∂ t ) = ∂ ∂ t ( − γ v ∂ ∂ X ′ + γ ∂ ∂ t ′ ) = = − γ v ∂ ∂ X ′ ( − γ v ∂ ∂ X ′ + γ ∂ ∂ t ′ ) + γ ∂ ∂ t ′ ( − γ v ∂ ∂ X ′ + γ ∂ ∂ t ′ ) = = γ 2 v 2 ∂ 2 ∂ X ′ 2 − 2 γ 2 v ∂ 2 ∂ X ′ ∂ t ′ + γ 2 ∂ 2 ∂ t ′ 2

-Editar-

Lo mismo se aplica a X

∂ ∂ X = ∂ ∂ X ′ ∂ X ′ ∂ X + ∂ ∂ t ′ ∂ t ′ ∂ X = γ ∂ ∂ X ′ − γ v C 2 ∂ ∂ t ′

∂ 2 ∂ X 2 = ∂ ∂ X ( ∂ ∂ X ) = ∂ ∂ X ( γ ∂ ∂ X ′ − γ v C 2 ∂ ∂ t ′ ) = = γ ∂ ∂ X ′ ( γ ∂ ∂ X ′ − γ v C 2 ∂ ∂ t ′ ) − γ v C 2 ∂ ∂ t ′ ( γ ∂ ∂ X ′ − γ v C 2 ∂ ∂ t ′ ) = = γ 2 ∂ 2 ∂ X ′ 2 − 2 γ 2 v C 2 ∂ 2 ∂ X ′ ∂ t ′ + γ 2 v 2 C 4 ∂ 2 ∂ t ′ 2

Edición 2 con las pistas dadas por nervxxx

La ecuación de onda se convierte en

γ 2 v 2 C 2 ∂ 2 ϕ ∂ X ′ 2 − 2 γ 2 v C 2 ∂ 2 ϕ ∂ X ′ ∂ t ′ + γ 2 C 2 ∂ 2 ϕ ∂ t ′ 2 = γ 2 ∂ 2 ϕ ∂ X ′ 2 − 2 γ 2 v C 2 ∂ 2 ϕ ∂ X ′ ∂ t ′ + γ 2 v 2 C 4 ∂ 2 ϕ ∂ t ′ 2

γ 2 v 2 C 2 ∂ 2 ϕ ∂ X ′ 2 + γ 2 C 2 ∂ 2 ϕ ∂ t ′ 2 = γ 2 ∂ 2 ϕ ∂ X ′ 2 + γ 2 v 2 C 4 ∂ 2 ϕ ∂ t ′ 2

Pero todavía no entiendo... ya que todo γ 2 Cancelar

Edición final. ¡hecho!

γ 2 v 2 C 2 ∂ 2 ϕ ∂ X ′ 2 − γ 2 ∂ 2 ϕ ∂ X ′ 2 = γ 2 v 2 C 4 ∂ 2 ϕ ∂ t ′ 2 − γ 2 C 2 ∂ 2 ϕ ∂ t ′ 2

γ = 1 1 − v 2 C 2

( 1 1 − v 2 C 2 ) v 2 C 2 ∂ 2 ϕ ∂ X ′ 2 − ( 1 1 − v 2 C 2 ) ∂ 2 ϕ ∂ X ′ 2 = ( 1 1 − v 2 C 2 ) v 2 C 4 ∂ 2 ϕ ∂ t ′ 2 − ( 1 1 − v 2 C 2 ) 1 C 2 ∂ 2 ϕ ∂ t ′ 2

( v 2 C 2 − v 2 ) ∂ 2 ϕ ∂ X ′ 2 − ( 1 1 − v 2 C 2 ) ∂ 2 ϕ ∂ X ′ 2 = ( v 2 C 2 − v 2 ) ∂ 2 ϕ ∂ t ′ 2 1 C 2 − ( 1 1 − v 2 C 2 ) 1 C 2 ∂ 2 ϕ ∂ t ′ 2

∂ ϕ 2 ∂ X ′ 2 ( v 2 C 2 − v 2 − 1 1 − v 2 C 2 ) = ∂ 2 ϕ ∂ t ′ 2 1 C 2 ( v 2 C 2 − v 2 − 1 1 − v 2 C 2 )

∂ 2 ϕ ∂ X ′ 2 = 1 C 2 ∂ 2 ϕ ∂ t ′ 2

Si combina los dos resultados que tiene y usa la definición de γ no obtienes la respuesta correcta?
Lo que has hecho es correcto. si cancelas γ 2 en esta etapa, obtendrás ( v 2 / C 2 − 1 ) ∗ ( ecuación de onda ) . Esta es solo la ecuación de onda multiplicada por un factor constante, que sigue siendo una ecuación de onda, pero esto es lo que te confunde porque esperas que la constante sea igual a 1 . en lugar de cancelar γ 2 en esta etapa, sustituye por lo que es, y verás que surge la ecuación de onda, sin la molesta constante multiplicativa al frente.

Respuestas (3)

Primero, tu ecuación de onda es incorrecta. Puedes ver esto a partir del análisis dimensional. Debería ser

∂ 2 ϕ ∂ t 2 = C 2 ∂ 2 ϕ ∂ X 2

[Editar (30/05/2020): El cartel ha editado la pregunta para corregir este error, por lo que el punto anterior ya no es válido].

En segundo lugar, cometió un error en los términos cruzados para el ∂ 2 / ∂ X 2 término. El término cruzado debe tener el coeficiente − 2 γ 2 v / C 2 .

En tercer lugar, utilice el hecho de que γ = 1 1 − v 2 / C 2 .

Obtendrás el resultado deseado.

Lo siento nerviosxxx. La ecuación de onda en la pregunta es correcta, incluida la dimensión. Es exactamente el mismo que citaste, simplemente multiplica dos lados por c ^ 2.
@Riad sí, observación extremadamente astuta. La respuesta que di fue una respuesta directa a la versión 1 de la pregunta, que ahora se ha editado para mostrar la ecuación de onda correcta.

Vale la pena resaltar un punto importante que se pasa por alto en la pregunta: la ecuación de onda establecida no es, en general, invariante bajo un impulso. Es invariante de Lorentz solo cuando la onda se propaga con una velocidad C . Específicamente, para una onda que viaja con una velocidad v satisfactorio

∂ 2 ϕ ∂ X 2 = 1 v 2 ∂ 2 ϕ ∂ t 2
en cierto sistema de coordenadas, la ecuación de onda dada es invariante bajo una transformación de Lorentz a un marco que viaja con velocidad β C dada por
t ′ = γ ( t − β X C ) X ′ = γ ( X − β C t )
sólo cuando v = ± C . Esta convención variable (específicamente, el significado de v ) es diferente en la pregunta.

La prueba de esta afirmación se encuentra mediante una ligera modificación del cálculo realizado en la pregunta. Tenemos

∂ 2 ϕ ∂ X 2 = γ 2 β 2 C 2 ∂ 2 ϕ ∂ t ′ 2 + γ 2 ∂ 2 ϕ ∂ X ′ 2 − 2 γ 2 β C ∂ 2 ϕ ∂ X ′ ∂ t ′ ; ∂ 2 ϕ ∂ t 2 = γ 2 ∂ 2 ϕ ∂ t ′ 2 + γ 2 β 2 C 2 ∂ 2 ϕ ∂ X ′ 2 − 2 γ 2 β C ∂ 2 ϕ ∂ X ′ ∂ t ′ .
Sustituyendo estos en la ecuación de onda original, encontramos la siguiente ecuación en términos de coordenadas aumentadas
( γ 2 v 2 − γ 2 β 2 C 2 ) ∂ 2 ϕ ∂ t ′ 2 = ( γ 2 − γ 2 β 2 C 2 v 2 ) ∂ 2 ϕ ∂ X ′ 2 − ( 2 γ 2 β C − 2 γ 2 β C v 2 ) ∂ 2 ϕ ∂ X ′ ∂ t ′ .
Claramente, la ecuación de onda es invariante solo si desaparece el término de parciales mixtos. Tenemos
2 γ 2 β C = 2 γ 2 β C v 2 ⇒ v = ± C .
Realizando esta sustitución por v en la ecuación de onda en coordenadas primas, la forma original con velocidad de onda C se restaura:
∂ 2 ϕ ∂ X ′ 2 = 1 C 2 ∂ 2 ϕ ∂ t ′ 2 .
Esto nos dice que la velocidad de la onda observada en el marco reforzado también es C , lo cual es consistente con el principio de que la velocidad de la luz medida por el observador impulsado también es C .

Lo que hago no difiere de los demás, pero puede ser un poco más conciso. Primero deja τ = C t y

L = γ ( v ) ( 1 − v / C − v / C 1 )
Entonces
( ∂ ∂ X ′ ∂ ∂ τ ′ ) = L ( ∂ ∂ X ∂ ∂ τ )
y
( ∂ 2 ϕ ∂ X ′ 2 ∂ 2 ϕ ∂ X ′ ∂ τ ′ ∂ 2 ϕ ∂ X ′ ∂ τ ′ ∂ 2 ϕ ∂ τ ′ 2 ) = ( ∂ ∂ X ′ ∂ ∂ τ ′ ) ( ∂ ∂ X ′ ∂ ∂ τ ′ ) ϕ = [ L ( ∂ 2 ∂ X 2 ∂ 2 ∂ X ∂ τ ∂ 2 ∂ X ∂ τ ∂ 2 ∂ τ 2 ) L T ] ϕ = γ 2 ( v ) ( ∂ 2 ϕ ∂ X 2 − 2 v C ∂ 2 ϕ ∂ X ∂ τ + v 2 C 2 ∂ 2 ϕ ∂ τ 2 ∗ ∗ v 2 C 2 ∂ 2 ϕ ∂ X 2 − 2 v C ∂ 2 ϕ ∂ X ∂ τ + ∂ 2 ϕ ∂ τ 2 )
Entonces
∂ 2 ϕ ∂ X 2 = ∂ 2 ϕ ∂ τ 2 ⟺ ∂ 2 ϕ ∂ X 2 + v 2 C 2 ∂ 2 ϕ ∂ τ 2 = v 2 C 2 ∂ 2 ϕ ∂ X 2 + ∂ 2 ϕ ∂ τ 2 ⟺ ∂ 2 ϕ ∂ X ′ 2 = ∂ 2 ϕ ∂ τ ′ 2

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