No puedo conciliar mi comprensión de la contracción de longitud con la transformación de Lorentz

Question

No puedo conciliar mi comprensión de la contracción de longitud con la transformación de Lorentz

noé m

Actualmente estoy tomando un curso de pregrado en Relatividad Especial. Pensé que entendía el material, pero repasar para el examen me confundió más que cuando comencé. Particularmente se nos dio el siguiente problema:

Un astronauta persigue una nave espacial alienígena. Como se ve desde un observador estacionario en la Tierra, los extraterrestres van a una velocidad constante de $0.4c$ y el astronauta va a una velocidad constante de $0.6c$ . Inicialmente están en $1\space lightyear$ aparte. En el marco de referencia del astronauta, ¿cuánto tiempo tardan en atrapar a los extraterrestres?

Prefacio

La respuesta correcta es 4 años.

Llegaron a esta respuesta calculando cuánto tiempo tomaría en el marco de la Tierra: $\frac{1 \space light year}{0.6c - 0.4c} = 5\space years.$ Luego, el profesor notó que el tiempo de los astronautas corre más lento porque se está moviendo en relación con la tierra en $0.6c$ , por lo que la duración de la persecución en el marco del astronauta es $\frac{1}{\gamma}*5 * 0.8*5 = 4\space years$ . Esta solución tuvo sentido para mí DESPUÉS de leerla.

Pude resolverlo de otra manera. Parametré la línea de mundo de los astronautas en el marco de la Tierra como

{\vec{r}}_{S} = (0.6 λ, λ)

$\vec r_S = (0.6\lambda, \lambda)$ En el marco de la tierra, la línea de tiempo del extraterrestre es

{\vec{r}}_{A} = (0.4 λ + 1, λ) .

$\vec r_A = (0.4\lambda + 1, \lambda).$ NOTA, ambos están escritos en términos de

(x, c t)

$(x, ct)$ . Si nos transformamos en el marco del astronauta , entonces de acuerdo con la Transformada de Lorentz, la nueva forma de las líneas del mundo será

(x^{'}, c t^{'}) = ([γ (x - \frac{u}{c} c t)], [γ (c t - \frac{u}{c} x]))

$(x', ct') = ( [\gamma (x - \frac{u}{c}ct)],\space[\gamma (ct -\frac{u}{c}x]))$ . En este marco preparado,

{\vec{r}}_{S}^{'} = (0, 8 λ)

$\vec r'_S = (0, 8\lambda)$

{\vec{r}}_{A}^{'} = (1.25 - 0.25 λ, 0,95 λ - 1.75)

$\vec r'_A = (1.25 - 0.25\lambda, 0.95\lambda - 1.75)$ Para encontrar la hora de la colisión, encontré donde

x_{S}^{'} = x_{A}^{'}

$x'_S = x'_A$ . Saltándonos el álgebra, esto ocurre en las coordenadas

λ = 5 : (X^{'}, C t^{'}) = (0, 4)

$\lambda = 5: (x', ct') = (0, 4)$ - tal como se esperaba.

Mi pregunta

Inicialmente me equivoqué en este problema porque traté de encontrar la solución usando la contracción de longitud en el marco del astronauta. Razoné que si el astronauta se está moviendo en relación con la Tierra, entonces su medición de distancias en la dirección x se contraerá y será más corta por un factor de $1/\gamma$ . Cuando discutimos la paradoja de los gemelos en clase, hablamos sobre cómo el gemelo de la Tierra "verá" el tictac del reloj del gemelo-cohete más lentamente, lo que explica por qué el gemelo-cohete piensa que el viaje a la estrella es más corto. Luego hablamos sobre cómo Rocket-twin verá reducida la longitud de su viaje, porque "1 m" en su marco es más corto que un metro en el marco de la Tierra, y la distancia se midió originalmente en el marco de la Tierra. Consulte esta pregunta para ver otra instancia de esta lógica.

Este razonamiento fracasó. Si la distancia entre el hombre y los extraterrestres medida en la Tierra se contrae en el marco del hombre por $1/\gamma \mid \beta=0.6$ , entonces verá a los alienígenas como solo $0.8\space lightyears$ lejos inicialmente. Además, observamos la pendiente de $r'_A$ en el marco imprimado, vemos que para el astronauta los extraterrestres se están moviendo hacia él en $0.263c$ . Entonces, ¿no debería ver que la persecución toma solo $\frac{0.8}{0.263} = 3.04\space years$ ?

Incluso ignorando esta solución incorrecta. Si la velocidad del alienígena es $0.263c$ hacia él, entonces no debería verlos viajar $4 * 0.263c = 1.052\space ly$ en su marco?

1.) ¿Por qué no puedo usar la contracción de la longitud y la velocidad relativa para resolver este problema?

2.) ¿Por qué calculo que el extraterrestre se mueve 1.052 años luz en el marco del astronauta? MÁS que en el marco de la Tierra?

Respuestas (1)

No puedo conciliar mi comprensión de la contracción de longitud con la transformación de Lorentz

usuario12029 · Answer 1

Estoy trabajando con c=1 y vectores en la forma $(t,x)$

La contracción de longitud es en realidad una declaración sobre líneas paralelas.

Tomas líneas de tiempo $(t,x_0)$ y $(t,x_0+\ell)$ , aplique una transformación de Lorentz y reparametrice, para obtener líneas de mundo $(t', x_0'+\beta t')$ y $(t', x_0'+\ell/\gamma+\beta t')$ . La distancia entre las dos líneas cambia a $\ell/\gamma$ , y esa es su contracción de longitud.

Si no puede expresar la contracción de longitud que le interesa en términos de líneas paralelas, entonces no es necesario que exista, ¡o puede obtener distancias cada vez mayores! Esto puede sonar como una contradicción en el valor nominal (si las cosas se contraen y otras se expanden, ¿no se encontrarán en algún momento?) pero la transformación de Lorentz es invertible: no puede haber contradicción.

Los hechos del asunto son estos:

Coordenadas terrestres $(t,x)$ :

Evento donde sale el barco: $(0,0)$ .
Evento donde los alienígenas empiezan a correr: $(0,1)$
Evento donde la nave atrapa a los alienígenas: $(5,3)$

Coordenadas del barco $(t',x')$ :

Evento donde sale el barco: $(0,0)$ .
Evento donde los alienígenas empiezan a correr: $(-0.75, 1.25)$ (se rompe la simultaneidad)
Evento donde la nave atrapa a los alienígenas: $(4,0)$
Lugar donde estaban los extraterrestres en $t'=0$ : $(0., 1.0526)$

Esos hechos se derivan directamente de la transformación de Lorentz. La respuesta general para la posición de los extranjeros en $t'=0$ , para una nave espacial que se mueve a gran velocidad $\beta$ , extraterrestre moviéndose a gran velocidad $\alpha$ , inicialmente una distancia $\ell$ de la tierra (todas las declaraciones en t=0 en el sistema de coordenadas de la Tierra), es $\frac{1}{\gamma}\frac{\ell}{1-\alpha \beta}$ , con $\gamma=1/\sqrt{1-\beta^2}$ . ESTA es la cantidad que puedes dividir por la velocidad de los extraterrestres en el marco de la nave espacial, para obtener el tiempo que tarda la nave espacial.

Eso se ve inquietantemente similar a la contracción de longitud y la adición de velocidad, por lo que tal vez haya una buena solución al usarlos.

[editar] ¡Encontré uno! Proceda de la siguiente manera: imagine una línea paralela a la línea del mundo del extraterrestre y que pasa por el origen, en el marco de la Tierra. Ir a un marco donde ambas líneas universales son verticales: la distancia horizontal entre las líneas se expande por un factor de $1/\sqrt{1-\alpha^2}$ y la nave espacial se mueve a gran velocidad $\beta'=\frac{\beta-\alpha}{1-\beta \alpha}$ . Ahora ve al marco donde la nave espacial está en reposo: la nueva distancia se reduce por un factor de $\sqrt{1-\beta'^2}$ . Entonces la respuesta es:

ℓ^{″} = ℓ \sqrt{1 - β^{' 2}} / \sqrt{1 - α^{2}}

$\ell''=\ell \sqrt{1-\beta'^2}/\sqrt{1-\alpha^2}$

Pasando esto a Mathematica (soy demasiado perezoso para expandirlo $\beta'^2$ !) muestra que efectivamente:

ℓ_{0}^{'} = ℓ \sqrt{1 - β^{' 2}} / \sqrt{1 - α^{2}} = ℓ \frac{\sqrt{1 - β^{2}}}{1 - α β}

$\ell_0'=\ell\sqrt{1-\beta'^2}/\sqrt{1-\alpha^2}=\ell\frac{\sqrt{1-\beta^2}}{1-\alpha\beta}$

Dividiendo por el valor absoluto de la velocidad $\frac{\beta-\alpha}{1-\beta \alpha}$ da:

t^{'} = ℓ \frac{\sqrt{1 - β^{2}}}{| α - β |}

$t'=\ell\frac{\sqrt{1-\beta^2}}{|\alpha-\beta|}$

enchufando $\ell=1$ , $\beta=0.6$ , $\alpha=0.4$ da $t'=4.0$ . Entonces $\ell_0'/v'$ realmente da el resultado correcto.

¡Gracias! Me alegra ver que hay un argumento basado en la contracción de la longitud que es correcto. Supongo que todavía no comprendo del todo la relatividad de la simultaneidad. Entiendo el experimento mental sobre el rayo que golpea los dos lados de un tren en movimiento porque se trata de observar destellos de luz. Sin embargo, cuando se aplica en otros lugares, no puedo entenderlo. Y así, todavía no comprendo completamente por qué el original $l_0$ no podía contraerse, ya que he entendido que la contracción es un efecto de medición no simultánea. Si dilatar el tiempo funciona, ¿por qué no la distancia?
@spanishinquisitor La contracción de longitud es una consecuencia de la relatividad especial, de la transformación de Lorentz. ¡Lo mismo con la dilatación del tiempo! Puede aplicar la fórmula de contracción de la longitud a las distancias , como la distancia entre dos estrellas, en reposo entre sí, porque las estrellas trazan líneas paralelas en el espacio-tiempo. La contracción de longitud te dice cómo cambia la separación de estas líneas paralelas. Ciertamente no es un efecto de la medición no simultánea, pero es relatividad especial, así que sí, la "simultaneidad" no tiene un significado físico real.

No puedo conciliar mi comprensión de la contracción de longitud con la transformación de Lorentz

noé m

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Mi pregunta

1.) ¿Por qué no puedo usar la contracción de la longitud y la velocidad relativa para resolver este problema?

2.) ¿Por qué calculo que el extraterrestre se mueve 1.052 años luz en el marco del astronauta? MÁS que en el marco de la Tierra?

Respuestas (1)

usuario12029

noé m

usuario12029

Problema de transformación de velocidad de Lorentz bidimensional

Demostrar y=y′,z=z′y=y′,z=z′y=y',z=z' en la transformación de Lorentz

¿Qué tan rápido tienes que viajar para viajar un año luz en un año debido a los efectos relativistas?

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