Elección de signo para matrices sigma

Si escribimos índices de espinor explícitamente$\sigma^\mu{}^{AB'} = (\mathbf{1},\vec\sigma)$dónde$A,B=1,2,\quad A',B'=1',2'\;.$

Las transformaciones de los índices de espinor leen

$$\epsilon^{AB}\chi_B=\chi^A,\quad \xi^B=\xi^A \epsilon_{BA}=-\xi^A \epsilon_{AB}=-\epsilon_{AB}\xi^A \;,\\ \epsilon^{A'B'}\chi_{B'}=\chi^{A'},\quad \xi^{B'}=\xi^{A'} \epsilon_{B'A'}=-\xi^{A'} \epsilon_{A'B'}=-\epsilon_{A'B'}\xi^{A'} \;.$$ Tenga en cuenta que si los índices de espinor se escribieron explícitamente, la posición de los términos en la ecuación de espinor no es importante y tenemos que introducir $$\epsilon^{AB}=\epsilon_{AB}=\epsilon^{A'B'}=\epsilon_{A'B'}=\left( \begin{matrix} 0 & 1\\ -1 & 0\end{matrix} \right) \;.$$ Por lo tanto, si quieres encontrar $\sigma^\mu{}_{AB}$, intentará reducir los índices de espinor en $\epsilon$ $$\sigma^\mu{}_{AB'} =\sigma^\mu{}^{CD'}\epsilon_{CA}\epsilon_{D'B'}$$ Para usar manipulaciones de matrices, reorganizaremos los índices de esta manera $$\sigma^\mu{}_{AB'} =-\epsilon_{AC}\sigma^\mu{}^{CD'}\epsilon_{D'B'}\;.$$ El término por término que tenemos $$\begin{eqnarray} \sigma^0{}_{AB'} &=&-\left( \begin{matrix} 0 & 1\\ -1 & 0\end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 1 & 0\\ 0 & 1\end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 0 & 1\\ -1 & 0\end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 1 & 0\\ 0 & 1\end{matrix} \right)=\sigma^0{}^{AB'} \;\\ \sigma^1{}_{AB'} &=&-\left( \begin{matrix} 0 & 1\\ -1 & 0\end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 0 & 1\\ 1 & 0\end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 0 & 1\\ -1 & 0\end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 0 & -1\\ -1 & 0\end{matrix} \right) =-\sigma^1{}^{AB'}\;\\ \sigma^2{}_{AB'} &=&-\left( \begin{matrix} 0 & 1\\ -1 & 0\end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 0 & -i\\ i & 0\end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 0 & 1\\ -1 & 0\end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 0 & i\\ -i & 0\end{matrix} \right)=-\sigma^2{}^{AB'} \;\\ \sigma^3{}_{AB'} &=&-\left( \begin{matrix} 0 & 1\\ -1 & 0\end{matrix} \right) \left( \begin{matrix}1 & 0\\ 0 & -1\end{matrix} \right) \left( \begin{matrix}0 & 1\\ -1 & 0 \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} -1 & 0\\ 0 & 1\end{matrix} \right) =-\sigma^3{}^{AB'}\;. \end{eqnarray}$$ Así que ahora tenemos $\sigma^\mu{}_{AB'} = (\mathbf{1},-\vec\sigma)$. Lo que suele llamarse $\overline{\sigma}^\mu$es de hecho esta cantidad. En la versión completa de índices espinoriales lo definimos como $$\overline \sigma^\mu{}_{B'A} :=\sigma^\mu{}_{AB'} = (\mathbf{1},-\vec\sigma)=\overline{\sigma}^\mu$$ Volteamos los índices primos y no primos porque tendrá más sentido cuando se multiplican con ${\sigma}^\mu{}^{AB'}$para producir la ecuación de estructura (no sé cómo se llama exactamente) del álgebra de espinor $$\sigma^\mu \overline \sigma^\nu + \sigma^\nu \overline \sigma^\mu = -2\;\eta_{\mu\nu}\otimes \mathbb 1_{2\times 2}\;,$$ dónde $\eta_{\mu\nu}=diag(-1,1,1,1)$. Puede ser suficiente para entender el punto o para pensar más.