Propiedades de la Categoría de espacios topológicos con nnn puntos base.

Recientemente encontré un problema en mi lectura que parecería estar redactado de manera más natural si la categoría en la que trabajamos cambiara de la categoría Arriba ∗ de espacios topológicos puntiagudos, a la categoría Arriba ∗ norte de espacios topológicos con un conjunto ordenado de norte puntos base distintos y mapas continuos entre ellos que conservan el conjunto de puntos base ordenado.

Dejar X Sea un espacio topológico y sea A = { X 1 , … , X norte } ⊆ X ya sea un conjunto de puntos base para algún número natural finito norte .

Estoy particularmente interesado en la homotopía de estos espacios, por lo que creo que es probablemente natural considerar el grupoide fundamental relativo π 1 ( X , A ) de estos espacios. No sé mucho sobre el grupoide fundamental de un espacio, aparte de las definiciones básicas. Me pregunto si alguien podría delinear qué propiedades ganamos y perdemos al considerar la categoría Arriba ∗ norte en lugar de la categoría Arriba ∗ . Por ejemplo, esta categoría todavía tiene un objeto inicial que es solo el conjunto finito de norte elementos con la topología discreta sin embargo, no creo Arriba ∗ norte tiene objetos terminales. Esta categoría todavía tiene un coproducto dado al identificar los conjuntos de puntos base de dos objetos por elementos con respecto a su orden (una especie de producto de cuña en norte puntos) pero no está claro que aún tengamos productos. ¿Cómo podrían cambiar estas propiedades si relajamos nuestra categoría para incluir mapas que posiblemente permuten el orden del conjunto de puntos base?

Además, ¿cómo funciona el funtor grupoide fundamental? π 1 ( . , A ) , que toma un objeto en Arriba ∗ norte a su grupoide fundamental Arriba ∗ norte en relación con su conjunto de puntos base A , difieren del funtor de grupo fundamental habitual. Si hay un funtor que toma un objeto en Arriba ∗ norte a Arriba ∗ , esto induce un funtor grpd norte → Grupo de la categoría de los groupoides con norte objetos a la categoría de grupos (¿posiblemente a través de espacios de clasificación?)?

Con suerte, las preguntas que he hecho están lo suficientemente relacionadas entre sí como para no tener que dividir esto en varias preguntas. Sin embargo, si alguien piensa que sería prudente, siéntase libre de hacer un comentario y consideraré hacerlo.

Cómo norte ¿Los puntos juegan un papel en el grupoide fundamental?
La mayoría de las propiedades categóricas se pierden porque considera puntos base distintos . De lo contrario, sería solo una categoría de segmento y los límites son creados por el funtor olvidadizo (y los colimits son un poco más complicados, pero también existen). ¿Debo desarrollar esto en una respuesta, o realmente quieres que los puntos base sean distintos?
Para lo que estoy estudiando, el hecho de que los puntos base sean distintos es bastante crucial (de lo contrario, el funtor en el que estoy pensando ya no está bien definido), pero tal vez haya una forma de evitarlo. Si no es demasiado problema, le agradecería que escribiera sus pensamientos como respuesta, ya que estoy seguro de que será útil.

Respuestas (2)

Discutiré las propiedades categóricas. De manera más general B un espacio topológico (de puntos base genéricos) y se denota por T o pag B la subcategoría completa de la categoría de segmento B ↓ T o pag cuyos objetos son aplicaciones continuas inyectivas B → X . El funtor olvidadizo B ↓ T o pag → T o pag crea todos los límites, de hecho es mónada con mónada correspondiente B + ( − ) en T o pag . Esta mónada también conserva colímites dirigidos, de modo que el funtor olvidadizo también crea colímites dirigidos.

No es dificil ver eso T o pag B ⊆ B ↓ T o pag es estable bajo productos no vacíos (es decir, excluyendo el objeto terminal), ecualizadores, así como bajo colímites dirigidos: por ejemplo, si ( B → X i ) i ∈ I es una familia no vacía de objetos en T o pag B y ( B → ∏ i X i ) i ∈ I es su producto en la categoría de corte, entonces B → ∏ i X i es inyectiva ya que la composición con alguna proyección pag r i (que existe desde I ≠ ∅ ) da el mapa inyectivo B → X i . Por lo tanto, este es también el producto en T o pag B . Los ecualizadores son fáciles de manejar, porque son inyectivos, y para los colímites dirigidos simplemente use que dos elementos son iguales si son iguales en alguna etapa.

El funtor olvidadizo T o pag B → T o pag tiene un adjunto izquierdo, enviando X a B ↪ B + X . En particular, conserva todos los límites. Por lo tanto, el espacio subyacente de un objeto terminal tiene un solo punto, lo que implica que B es solo un punto, y obtenemos T o pag ∗ que es completo y cocompleto. Si B es más que un punto, no hay objeto terminal.

Coproductos en B ↓ T o pag son expulsiones en T o pag encima B . Uno puede comprobar que T o pag B se cierra bajo ellos, utilizando la construcción explícita de pushouts. Esto también incluye el objeto inicial. Estoy bastante seguro de que los coecualizadores no existen, pero no tengo un ejemplo en este momento (por supuesto, no es suficiente ver que el funtor olvidadizo no los crea).

Hay un producto de gran éxito en B ↓ T o pag dada por X ∧ Y = ( X × Y ) / ( b , y ) ∼ ( X , b ′ ) , dónde b y b ′ recorrer todos los puntos base. Pero T o pag B no está cerrado debajo de él cuando B es más que un simple punto, porque todos los puntos base quedan identificados.

Resumen:

  • T o pag B tiene límites no vacíos, colimits dirigidos, coproductos
  • T o pag B no tiene objeto terminal, coecualizadores, aplastar productos
no es identificación : B → B indisco el objeto terminal en Arriba B ?
No, no hay ningún objeto terminal (ver arriba).
@MartinBrandenburg ¿Es B un espacio topológico genérico? Quiero decir: cualquier topología? alguna cardinalidad?
@magma: Sí.
Eso pensé, gracias @MartinBrandenburg
"De hecho, es una mónada" presumiblemente debería leerse "de hecho, es monádica".
@KevinCarlson: Sí
En lugar de categoría de rebanada, ¿no te refieres a coslice? Del nLab la categoría coslice de X en C es la categoría de morfismos en C comenzando en x.
@NoelLundström Sí, tienes razón. Usualmente uso el término "categoría de corte" para ambas construcciones, para ser honesto...

Puede encontrar esta discusión de desbordamiento matemático en muchos puntos básicos relevantes.

El libro Topología y Groupoides considera en el Capítulo 7, el conjunto [ X , Y ; tu ] ;aquí se nos da una inclusión i : A → X , generalmente una cofibracin cerrada, y un mapa tu : A → Y , y el conjunto [ X , Y ; tu ] es el conjunto de clases de homotopía rel A de mapas X → Y extensión tu . el grupoide π 1 Y A de clases de homotopía rel end mapas de mapas A → Y luego opera sobre la familia de conjuntos [ X , Y ; tu ] para todos tu : A → Y . Esta configuración generaliza el funcionamiento del grupoide fundamental π 1 Y sobre los grupos de homotopía π norte ( Y , y ) , y ∈ Y . Este aparato conduce a un teorema de pegado para equivalencias de homotopía.

Propiedades de la Categoría de espacios topológicos con nnn puntos base.
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