¿La compactación en un punto es funcional?

En un curso de topología algebraica, recientemente vi la prueba del teorema de que el norte − y metro − espacios vectoriales dimensionales, norte ≠ metro , no son isomorfos (en T o pag ). La prueba utilizó la compactación de estos dos espacios (que son norte − y metro − esferas respectivamente) y luego el funtor de homología reducida que muestra que estos no son isomorfos. Para que esto funcione es necesario que la compactación conserve los isomorfismos. Se explicó brevemente (en términos elementales) por qué ese es el caso. Me pregunto ahora si la compactación es funcional en general, o si solo conserva isomorfismos en este caso específico.

tl; dr: La pregunta es el título.

Lo que es cierto y es fácil de comprobar: si X es homeomorfo a Y entonces α X (el Aleksandrov, o compactación en un punto de X ) es homeomorfo a α Y .
No es cierto que un continuo F : X → Y siempre da lugar a un mapa α F : α X → α Y por ejemplo, no es funcional en el sentido propio. Es solo una compactación topológicamente única.
¿Considera la compactación de un punto de espacios de Hausdorff localmente compactos o la compactación de un punto de Alexandroff para espacios arbitrarios?
La compactación de Alexandroff es un funtor de la categoría L C H de espacios de Hausdorff localmente compactos y mapas continuos propios, a la subcategoría C H ∗ de Hausdorffs compacto puntiagudo, consulte esta pregunta .
@PaulFrost No hice una distinción hasta ahora. Si es funcional para alguna categoría pero no para todas, eso respondería a mi pregunta, que es lo que hiciste en tu respuesta, ¡así que gracias por eso! :)

Respuestas (1)

Como dijo Henno Brandsma en un comentario, no es funcional.

La compactación de un punto de Alexandroff de un espacio arbitrario X se define como el conjunto X ∗ = X ∪ { ∞ } con un punto ∞ ∉ X . La topología en X ∗ consiste en todos los subconjuntos abiertos de X y todos los conjuntos de la forma X ∗ ∖ C , dónde C ⊂ X es cerrado y compacto. los conjuntos X ∗ ∖ C son precisamente los barrios abiertos de ∞ .

Consideremos un mapa F : X → Y . ¿Cuándo se extiende a un continuo? F ∗ : X ∗ → Y ∗ tal que F ∗ ( ∞ ) = ∞ ?

Claramente F ∗ es continua iff para cada compacto cerrado D ⊂ Y tenemos ( F ∗ ) − 1 ( Y ∗ ∖ D ) = X ∗ ∖ C por unos compactos cerrados C ⊂ X . Pero ( F ∗ ) − 1 ( Y ∗ ∖ D ) = X ∗ ∖ F − 1 ( D ) , de este modo F ∗ es continuo iff preimágenes de compacto cerrado D ⊂ Y bajo F son compactos (se cierran automáticamente por continuidad). Tales mapas F se llaman propias . Por lo tanto, la compactación de un punto es un funtor de la categoría de espacios topológicos y mapas propios a la categoría de espacios compactos y mapas continuos.

Nótese que todos los homeomorfismos son propios. En contraste, los mapas constantes nunca son apropiados a menos que el dominio X es compacto

Así que es funcional en otra categoría que no sea Top...
Gracias, esto responde perfectamente a mi pregunta!
¿La compactación en un punto es funcional?
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