Partículas indistinguibles cuando las funciones de onda no se superponen

La respuesta de By Symmetry es correcta, pero no creo que responda exactamente a la pregunta a la que te refieres.

Está cometiendo un error conceptual muy común para los estudiantes que aprenden primero sobre estadística cuántica, que es que las partículas cuánticas "necesitan" ser indistinguibles y que la (anti)simetrización es la forma en que "satisfacen esa necesidad". Pero este no es el caso: ciertamente se podría imaginar un sistema cuántico de múltiples partículas con masa, carga, espín, etc., completamente idénticas, pero donde las partículas son "distinguibles" en el sentido de que su función de onda conjunta no es simétrica ni antisimétrica. bajo intercambio de partículas. Tales partículas no serían ni bosones ni fermiones. (De hecho, los físicos de la materia condensada hacen esto todo el tiempo cuando consideran sistemas de espín magnético y, con menos frecuencia, sistemas de "aniones" que no son ni bosones ni fermiónicos).

Entonces, ¿por qué los libros de texto de QM de introducción (casi) siempre solo consideran partículas bosónicas o fermiónicas? Porque se ha demostrado experimentalmente que cada partícula fundamental del modelo estándar es un bosón o un fermión. Recuerde que cualquier sistema físico tiene un "espacio de Hilbert" asociado, que es el conjunto de estados cuánticos en los que es físicamente posible encontrar el sistema. El conjunto de funciones de onda totalmente simétricas forma el "espacio de Hilbert bosónico" y el conjunto de funciones de onda totalmente antisimétricas forma el "espacio de Hilbert fermiónico", y todas las especies conocidas de partículas elementales están descritas por uno u otro espacio. Pero un espacio de Hilbert más general ciertamente sería lógica y matemáticamente consistente.

(Cuando estudie QM en un nivel más avanzado, aprenderá que hay razones más profundas por las que las teorías bosónica y fermiónica son más "naturales". En estos dos casos especiales, podemos usar un formalismo matemático muy elegante llamado "segunda cuantización". eso nos ahorra mucho trabajo Los sistemas de espín y anyonic son, en cierto modo, más difíciles de manejar que los sistemas de bosones y fermiones, porque no se puede usar la segunda cuantización, o a veces se puede usar, pero en mucho, mucho forma más complicada, asignando el sistema a una "teoría de calibre" bosónica o fermiónica. Además, no hay forma conocida de hacer que una partícula que no sea ni bosónica ni fermiónica sea compatible con la relatividad especial).

De todos modos, esta es una forma larga de decir que todas las funciones de onda multielectrónica siempre están antisimetrizadas, sin importar qué tan lejos estén. (Aunque resulta que no puede usar esta antisimetrización para enviar información más rápido que la luz, por lo que la relatividad especial es segura). Pero recuerde que en la mecánica cuántica, solo los productos internos son físicamente observables, no las funciones de onda en sí. (En realidad, solo el cuadrado normal de un producto interno es físicamente observable). Si las partículas no tienen ninguna superposición espacial, entonces resulta que si queremos evaluar$\langle \hat{X} \rangle$, obtendremos la misma respuesta ya sea que usemos o no la función de onda antisimetrizada correcta, o una función de onda no simetrizada hipotética . Entonces, aunque la función de onda no simétrica ni siquiera se encuentra en el espacio de Hilbert y no tiene ningún sentido físicamente, podemos usarla aunque sea "incorrecta". ¡Intentalo! Escriba dos funciones de onda que no se superpongan y calcule$\langle \hat{X} \rangle$con respecto a los estados antisimetrizados y no antisimetrizados, obtendrá la misma respuesta de cualquier manera. Entonces, estrictamente hablando, todavía "tiene que" antisimetrizar, pero puede salirse con la suya "haciendo trampa" y descuidando hacerlo si la partícula está muy lejos y tiene una superposición espacial insignificante.

Finalmente, podría preguntarse "si todas las partículas fundamentales conocidas son bosones o fermiones, entonces, ¿por qué los físicos de la materia condensada se molestan en considerar estos extraños sistemas anónicos y de espín magnético?" La respuesta es en realidad diferente en los dos casos. Los sistemas de espín magnético son en realidad sistemas de electrones donde la función de onda de cada electrón cae tan rápido que podemos tratarlos como "lejos", ¡incluso si solo están separados por un espacio interatómico! Entonces podemos salirnos con la nuestra ignorando la antisimetrización, a pesar de que está "realmente" ahí. Los anyones son aún más extraños y no corresponden a ninguna partícula fundamental individual en absoluto: son "excitaciones colectivas" que solo surgen cuando tomas una gran cantidad de electrones y los acoplas de formas muy especiales.

La función de onda total de un par de electrones siempre debe ser antisimétrica. Entonces la función de onda general tiene la forma.

$$|\Psi\rangle = \frac{1}{2}\left(|\sigma_1\phi_1\rangle|\sigma_2\phi_2\rangle - |\sigma_2\phi_2\rangle|\sigma_1\phi_1\rangle\right)$$ Si las funciones de onda espaciales de los dos electrones son idénticas, es decir, los dos electrones están en el mismo "estado espacial", entonces la función de onda espacial debe ser simétrica y, por tanto, para que la función de onda total sea antisimétrica, la parte de espín de la función de onda debe ser antisimétrico. $$|\Psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|+-\rangle - |-+\rangle\right)|\phi_1\,\phi_1\rangle$$

Sin embargo, si las funciones de onda espaciales no son idénticas , entonces la parte espacial de la función de onda puede ser simétrica o antisimétrica y, por lo tanto, la función de onda de espín puede ser antisimétrica o simétrica, respectivamente.

$$\begin{align} |\Psi\rangle = \frac{1}{2}\left(|+-\rangle - |-+\rangle\right)\left(|\phi_1\,\phi_2\rangle + |\phi_2\,\phi_1\rangle\right)\\ |\Psi\rangle = \frac{1}{2}\left(|\sigma_1\sigma_2\rangle + |\sigma_2\sigma_1\rangle\right)\left(|\phi_1\,\phi_2\rangle - |\phi_2\,\phi_1\rangle\right) \end{align}$$ dónde $\sigma_1$y $\sigma_2$pueden ser cualquiera de los dos $+$o $-$. La superposición de las funciones de onda no importa. De hecho, las funciones de onda generalmente decaen exponencialmente a grandes distancias, por lo que la superposición nunca es del todo $0$. El punto donde las integrales de superposición entran en juego es cuando hay una interacción entre los electrones, por lo que hay una energía asociada con la proximidad de los electrones, que normalmente será mayor si los electrones están en el mismo estado, lo que da como resultado una energía espacial simétrica. configuración configuración favorecida o evitada.