¿Cuál es el punto del Principio de Exclusión de Pauli si el tiempo y el espacio son continuos?

Las partículas reales nunca están completamente localizadas en el espacio (excepto posiblemente en el caso límite de un momento completamente indefinido), debido al principio de incertidumbre. Más bien, están necesariamente en una superposición de un continuo de estados propios de posición y momento.

El principio de exclusión de Pauli afirma que no pueden estar exactamente en el mismo estado cuántico, pero una consecuencia directa de esto es que tienden a no estar en estados similares . Esto equivale a un efecto repulsivo efectivo entre partículas.

Puede ver esto recordando que para obtener una función de onda física de dos fermiones, debe antisimetrizarla. Esto significa que si las dos funciones de onda individuales son similares en una región, la función de onda total de dos fermiones tendrá una amplitud de probabilidad casi nula en esa región, lo que resultará en un efecto repulsivo efectivo.

Para ver esto más claramente, considere el caso unidimensional simple, con dos partículas fermiónicas con funciones de onda parcialmente superpuestas. Llamemos a las funciones de onda de la primera y segunda partículas$\psi_A(x)$y$\psi_B(x)$, respectivamente, y supongamos que sus distribuciones de probabilidad tienen la forma:

La función de onda correctamente antisimetrizada de los dos fermiones vendrá dada por:

Como se puede ver claramente en la imagen, por$x_1=x_2$la probabilidad se desvanece. Esta es una consecuencia inmediata del principio de exclusión de Pauli: no puedes encontrar dos fermiones idénticos en el mismo estado de posición. Pero también ves que, cuanto más$x_1$esta cerca de$x_2$, menor es la probabilidad, ya que debe ser debido a la continuidad de la función de onda.

Anexo: ¿Se puede considerar el efecto del principio de exclusión de Pauli como una fuerza en el sistema convencional?$F=ma$¿sentido?

La versión QM de lo que significa fuerza en el marco clásico es una interacción mediada por algún potencial, como la interacción electromagnética entre electrones. Esto corresponde a términos adicionales en el hamiltoniano, que dice que ciertos estados (digamos, las mismas cargas muy juntas) corresponden a estados de alta energía y, por lo tanto, son más difíciles de alcanzar, y viceversa para estados de baja energía.

El principio de exclusión de Pauli es completamente diferente desde el punto de vista conceptual: no se debe a un aumento de energía asociado con la proximidad de fermiones idénticos, y no hay ningún término en el hamiltoniano que medie tal "interacción" ( advertencia importante aquí: este " intercambio de fuerzas " puede aproximarse hasta cierto punto como fuerzas "regulares").

Más bien, proviene de las estadísticas inherentemente diferentes de los estados de muchos fermiones: no es que los fermiones idénticos no puedan estar en el mismo estado/posición porque hay una fuerza repulsiva que lo impide, sino que no hay ningún estado físico (muchos cuerpos). estado asociado con ellos estando en el mismo estado/posición . Simplemente no lo hay: no es algo compatible con la realidad física descrita por la mecánica cuántica. Pensamos ingenuamente en tales estados porque estamos acostumbrados a razonar de forma clásica y no podemos entender lo que realmente significa el concepto de "partículas idénticas".

Ok, pero ¿qué pasa entonces con cosas como la presión de degeneración ? En algunas circunstancias, como en las estrellas moribundas, el principio de exclusión de Pauli realmente parece comportarse como una fuerza en el sentido convencional, contrastando la fuerza gravitatoria y evitando que las enanas blancas colapsen en un punto. ¿Cómo reconciliamos el "efecto estadístico" descrito anteriormente con esto?

Lo que creo que es una buena manera de pensar sobre esto es lo siguiente: estás tratando de aplastar muchos fermiones en el mismo lugar. Sin embargo, el principio de Pauli dicta una probabilidad nula de que cualquier par de ellos ocupe la misma posición.

La única manera de reconciliar estas dos cosas es que la distribución de posición de cualquier fermión (digamos, el$i$-th fermion) debe estar extremadamente localizado en un punto (llamémoslo$x_i$), diferente de todos los demás puntos ocupados por los demás fermiones. Es importante tener en cuenta que solo hice trampa en aras de la claridad aquí: no se puede hablar de ningún fermión como si tuviera una identidad individual: cualquier fermión estará estrictamente confinado en todos los$x_i$posiciones, siempre que todos los demás fermiones no lo sean. El efecto neto de todo esto es que la función de onda adecuadamente antisimetrizada de todo el sistema será una superposición de muchos picos muy agudos en el espacio de posición de alta dimensión. Y es en este punto donde entra en juego la incertidumbre de Heisenberg: una distribución muy puntiaguda en la posición significa una distribución muy amplia en el impulso, lo que significa una energía muy alta, lo que significa que cuanto más quieras aplastar los fermiones, más energía necesitarás. para proporcionar (es decir, en términos clásicos, más difícil es "empujarlos" juntos).

Para resumir: debido al principio de Pauli, los fermiones se esfuerzan tanto por no ocupar las mismas posiciones, que la función de onda resultante de muchos fermiones que describe las probabilidades conjuntas se vuelve muy alta, lo que aumenta considerablemente la energía cinética del estado, lo que hace que dichos estados sean "más difíciles". alcanzar.

Aquí (y sus enlaces) hay otra pregunta sobre este punto.

La otra respuesta muestra muy bien cómo se puede interpretar el principio de exclusión de Pauli para funciones de onda reales. Sin embargo, quiero abordar la confusión subyacente aquí, resumida en la declaración

Si el tiempo y el espacio son continuos, entonces los estados cuánticos idénticos son imposibles para empezar. en la pregunta

Esta afirmación es simplemente falsa. Un estado cuántico no está dado por una ubicación en el tiempo y el espacio. Los kets de uso frecuente$\lvert x\rangle$que son "estados propios de posición" no son en realidad estados cuánticos admisibles ya que no están normalizados, no pertenecen al espacio de estados de Hilbert. Esencialmente por suposición, el espacio de estados es separable, es decir, abarcado por una base ortonormal numerable infinita.

Los estados para los que generalmente se usa el principio de exclusión de Pauli no son estados de posición, sino estados típicamente ligados como los estados en un átomo similar al hidrógeno, que son estados$\lvert n,\ell,m_\ell,s\rangle$etiquetados por cuatro números cuánticos discretos . El principio de exclusión dice ahora que solo un fermión puede ocupar, por ejemplo, el estado$\lvert 1,0,0,+1/2\rangle$, y sólo uno puede ocupar$\lvert 1,0,0,-1/2\rangle$. Y luego todos los estados en$n=1$están agotados , y un tercer fermión debe ocupar un estado de$n > 1$, es decir, debe ocupar un estado de energía superior . Este es el punto del principio de Pauli, que no tiene nada que ver con la discreción o no discreción del espacio. (De hecho, dado que la solución de la ecuación de Schrödinger se deriva como la solución de una ecuación diferencial en el espacio continuo, vemos que el espacio no discreto no prohíbe los estados "discretos").