Potenciales en la integral de trayectoria de Feynman

Estoy tratando de entender la integral de ruta de Feynman leyendo el libro de Leon Takhtajan.

En uno de los ejemplos, hay una explicación completa del cálculo del propagador.

$$K(\mathbf{q'},t';\mathbf{q},t) = \frac{1}{(2\pi\hbar)^n} \int_{\mathbb{R}^n} e^{\frac{i}{\hbar}(\mathbf{p}(\mathbf{q'}-\mathbf{q})-\frac{\mathbf{p}^2}{2m}T)} d^n\mathbf{p},\quad T=t'-t.$$

en el caso de una partícula cuántica libre con operador hamiltoniano

$$H_0 = \frac{\mathbf{P}^2}{2m},$$

y la solución está dada por

$$K(\mathbf{q'},t';\mathbf{q},t) = \left(\frac{m}{2\pi i \hbar T}\right)^{\frac{n}{2}} e^{\frac{im}{2\hbar T}(\mathbf{q}-\mathbf{q'})^2}.$$

¿Podría ayudarme a comprender cómo realizar el cálculo en el caso de que el hamiltoniano esté dado por

$$H_1 = \frac{\mathbf{P}^2}{2m} + V(\mathbf{Q})$$

dónde$V(\mathbf{Q})$es el potencial definido por

$$V(\mathbf{Q})=\left\{ \begin{array}{cc} \infty, & \mathbf{Q} \leq b \\ 0, & \mathbf{Q}>b. \\ \end{array} \right.$$

Actualizar :

He leído el artículo proporcionado por Trimok y otro que se encuentra en las referencias, pero todavía estoy molesto con la forma en que se calcula el propagador. Puedo estar equivocado, pero parece que en ese tipo de artículos, siempre comienzan el cálculo desde cero, sin usar lo que ya saben sobre la integral de trayectoria.

De hecho, estoy tratando de escribir algo sobre el uso de integrales de ruta en la valoración de opciones. Por el libro de Takhtajan, sé que para un hamiltoniano general$H=H_0 + V(q)$dónde$H_0 = \frac{P^2}{2m}$, la integral de trayectoria en el espacio de configuración (o más precisamente el propagador) viene dada por

$$\begin{equation} \begin{array}{c} \displaystyle K(q',t';q,t) = \lim_{n\to\infty}\left(\frac{m}{2\pi\hbar i \Delta t}\right)^{\frac{n}{2}} \\ \displaystyle \times \underset{\mathbb{R}^{n-1}}{\int \cdots\int} \exp\left\{\frac{i}{\hbar}\sum_{k=0}^{n-1}\left(\frac{m}{2}\left(\frac{q_{k+1} - q_k}{\Delta t}\right)^2 - V(q_k)\right)\Delta t\right\} \prod_{k=1}^{n-1} dq_k.\\ \end{array} \end{equation}$$ Me gustaría comenzar mi cálculo a partir de este resultado y evitar repetir una vez más el procedimiento de división de tiempo. Entonces, debido a la forma particular del potencial, creo que puedo reescribir la ecuación anterior como $$\begin{equation} \begin{array}{c} \displaystyle K(q',t';q,t) = \lim_{n\to\infty}\left(\frac{m}{2\pi\hbar i \Delta t}\right)^{\frac{n}{2}} \\ \displaystyle \times \int_0^{+\infty} \cdots\int_0^{+\infty} \exp\left\{\frac{i}{\hbar}\frac{m}{2}\sum_{k=0}^{n-1}\frac{(q_{k+1} - q_k)^2}{\Delta t}\right\} \prod_{k=1}^{n-1} dq_k.\\ \end{array} \end{equation}$$ Entonces necesito un truco para volver a las integrales completas $\mathbb{R}$y uso lo que ya sé en el propagador de partículas libre. Sin embargo, dado que las integrales están acopladas, no encuentro la forma correcta de finalizar el cálculo y encontrar el resultado proporcionado por Trimok.

¿Podría decirme si estoy en lo cierto o no? Gracias.