Experimento de doble rendija - Probabilidad de detección utilizando la formulación integral de trayectoria

Estoy realmente interesado en el formalismo de las integrales de ruta, por lo que quiero mejorar mi comprensión conceptual y computacional.

Consideremos que tenemos una partícula libre de masa$m$un$x=L$distancia de un detector en$t=0$y una barrera de con dos rendijas en$y=\pm a$. Tanto la barrera como el detector se extendían desde$-\infty$a$\infty$en la dirección y. La distancia de la rendija de la barrera a la partícula es$x=L/2$.

Lo que intento determinar es la probabilidad de que la partícula se mida en el detector.$\mathbb{P}(y,T)$en la posición$(L,y)$. Dónde$T$es el tiempo que llega al detector.

---

La probabilidad de detectar esta partícula está determinada por la posible amplitud de su trayectoria (asumiendo que sigue el camino clásico):

$$\mathbb{P}(y,T) = |A'_{1} + A'_{2}|^{2}$$ dónde $A'$es la amplitud del propagador.

la partícula puede seguir solo dos caminos, principalmente el camino de la primera rendija al detector que llamaré$\mathcal{O}_{1}$y por la segunda rendija al detector$\mathcal{O}_{2}$. Cada camino tiene trayectorias temporales independientes.

La superposición de hacer que la partícula viaje al detector se puede definir como

$$\begin{align} \langle B,t=T |A,t=0\rangle \end{align}$$ dónde $B$es la fuente puntual en la pantalla y $A$es la fuente de origen de las partículas.

La probabilidad total de que la partícula tome cualquiera de los dos caminos a lo largo del tiempo.$T$al detector es 1, por lo que lo anterior se puede escribir como un propagador:

$$\begin{align} \langle B,T | A,0 \rangle = \int_{0}^{T} dt_{1} \langle B,T |\mathcal{O}_{1},t_{1} \rangle \langle \mathcal{O}_{1},t_{1}| A,0 \rangle + \int_{0}^{T} dt_{2} \langle B,T |\mathcal{O}_{2},t_{2} \rangle \langle \mathcal{O}_{2},t_{2}| A,0 \rangle \end{align}$$

El propagador de partículas libres en general se define como:

$$\begin{align} \mathcal{U}_{free}(q',t' ; q,t_{0}) = \sqrt{\frac{m}{2 \pi i \hbar (t' -t_{0})}} \exp( - \frac{i}{\hbar} \left( \frac{m}{2} \frac{ \Delta q^{2} }{\Delta t} \right) ) \end{align}$$

Entonces, para una de las porciones en propagación:

$$\begin{align} \langle \mathcal{O}_{1},t_{1} | A,0\rangle &= \sqrt{\frac{m}{2 \pi i \hbar t_{1}}} \exp( - \frac{i}{\hbar} \left( \frac{m}{2} \frac{ x_{1}^{2} }{t_{1}} \right) ) \end{align}$$ dónde $x_{1}$es la posición en la rendija $(\Delta x = x_1 - 0)$

Aplicar esto a los cuatro y combinarlo me da entonces:

$$\begin{align} \langle B,T | A,0 \rangle = \frac{m}{2 \pi i \hbar}\left( \int_{0}^{T} dt_{1} \frac{ \exp( -\frac{i m}{2\pi} \left( \frac{x_{1}^{2}}{t_{1}} - \frac{x_{1}'^{2}}{T-t_{1}} \right) ) }{t_{1}(T - t_{1})} + \int_{0}^{T} dt_{2} \frac{ \exp( -\frac{i m}{2\pi} \left( \frac{x_{2}^{2}}{t_{2}} - \frac{x_{2}'^{2}}{T-t_{2}} \right) ) }{t_{2}(T - t_{2})} \right) \end{align}$$

Así que ahora, esta es la parte con la que estoy atascado.

1. ¿Cómo se tienen en cuenta correctamente las dimensiones x e y en esta integral que tengo arriba?
2. Entonces, ¿cómo contabilizo adecuadamente los anchos de hendidura?

---

Otro enfoque es simplemente observar la acción de la partícula, ya que conocemos su lagrangiano, trabajar a partir de ahí y tener en cuenta que las partículas que se acercan a la rendija serán simétricas en cada uno de sus caminos.

$$\begin{align} \mathcal{U} = \int_{x=L/2,t=t'}^{L,T} \int_{y=0,t=0}^{y,T} \mathcal{D} e^{i\int dt \mathcal{L}} \end{align}$$

donde el lagrangiano (no la densidad) de nuestra partícula libre es

$$\begin{align} \mathcal{L} = \frac{m}{2}( \dot{x}^{2} + \dot{y}^{2} ) \end{align}$$