Cálculo del valor esperado para la energía cinética ⟨Ek⟩⟨Ek⟩\langle E_k \rangle para una función de onda conocida

Question

Cálculo del valor esperado para la energía cinética ⟨Ek⟩⟨Ek⟩\langle E_k \rangle para una función de onda conocida

71GA

Tengo una función de onda ( $a=1nm$ ):

ψ = A X Exp [\frac{- X^{2}}{2 a}]

$\psi=Ax\exp\left[\tfrac{-x^2}{2a}\right]$

para lo cual ya calculé el factor de normalización (en mi otro tema ):

A = \sqrt{\frac{2}{a \sqrt{π a}}} = 1.06 \frac{1}{norte metro \sqrt{norte metro}}

$A = \sqrt{\frac{2}{a\sqrt{\pi a}}} = 1.06\frac{1}{nm\sqrt{nm}}$

Lo que quiero saber es cómo calcular el valor esperado para una energía cinética. He intentado calcularlo analíticamente pero me pierdo en la integración:

\begin{aligned} ⟨ {mi}_{k} ⟩ & = \int_{- \infty}^{\infty} \bar{ψ} \hat{T} ψ d X = \int_{- \infty}^{\infty} A X Exp [- \frac{X^{2}}{2 a}] (- \frac{ℏ^{2}}{2 metro} \frac{d^{2}}{d X^{2}} A X Exp [- \frac{X^{2}}{2 a}]) d X = \dots \end{aligned}

$\begin{align} \langle E_k \rangle &= \int\limits_{-\infty}^{\infty} \overline\psi\hat{T}\psi \,dx = \int\limits_{-\infty}^{\infty} Ax \exp \left[{-\tfrac{x^2}{2a}}\right]\left(-\tfrac{\hbar^2}{2m}\tfrac{d^2}{dx^2}Ax \exp \left[{-\tfrac{x^2}{2a}}\right]\right)\,dx =\dots \end{align}$

En este punto voy y resuelvo la segunda derivada y continuaré después de esto:

\begin{aligned} \frac{d^{2}}{d X^{2}} A X Exp [- \frac{X^{2}}{2 a}] = A \frac{d^{2}}{d X^{2}} X Exp [- \frac{X^{2}}{2 a}] = A \frac{d}{d X} (Exp [- \frac{X^{2}}{2 a}] - \frac{2 X^{2}}{2 a} Exp [- \frac{X^{2}}{2 a}]) = \\ = A (- \frac{2 X}{2 a} Exp [- \frac{X^{2}}{2 a}] - \frac{1}{a} \frac{d}{d X} X^{2} Exp [- \frac{X^{2}}{2 a}]) = \\ = A (- \frac{X}{a} Exp [- \frac{X^{2}}{2 a}] - \frac{2 X}{a} Exp [- \frac{X^{2}}{2 a}] + \frac{X^{3}}{a^{2}} Exp [- \frac{X^{2}}{2 a}]) = \\ = A (- \frac{3 X}{a} Exp [- \frac{X^{2}}{2 a}] + \frac{X^{3}}{a^{2}} Exp [- \frac{X^{2}}{2 a}]) \end{aligned}

$\begin{align} &\phantom{=}\tfrac{d^2}{dx^2}Ax \exp \left[{-\tfrac{x^2}{2a}}\right] = A\tfrac{d^2}{dx^2}x \exp \left[{-\tfrac{x^2}{2a}}\right]= A\tfrac{d}{dx}\left(\exp \left[{-\tfrac{x^2}{2a}}\right]-\tfrac{2x^2}{2a}\exp \left[{-\tfrac{x^2}{2a}}\right]\right)= \\ &=A \left(-\tfrac{2x}{2a}\exp \left[{-\tfrac{x^2}{2a}}\right] - \tfrac{1}{a}\tfrac{d}{dx}x^2\exp \left[{-\tfrac{x^2}{2a}}\right]\right) = \\ &=A \left(-\tfrac{x}{a}\exp \left[{-\tfrac{x^2}{2a}}\right] - \tfrac{2x}{a}\exp \left[{-\tfrac{x^2}{2a}}\right] + \tfrac{x^3}{a^2}\exp \left[{-\tfrac{x^2}{2a}}\right]\right) = \\ &= A \left(-\tfrac{3x}{a}\exp \left[{-\tfrac{x^2}{2a}}\right] + \tfrac{x^3}{a^2}\exp \left[{-\tfrac{x^2}{2a}}\right]\right) \end{align}$

Bien, ahora puedo continuar con la integración:

\begin{aligned} \dots & = \int_{- \infty}^{\infty} A X Exp [- \frac{X^{2}}{2 a}] (- \frac{ℏ^{2}}{2 metro} A (- \frac{3 X}{a} Exp [- \frac{X^{2}}{2 a}] + \frac{X^{3}}{a^{2}} Exp [- \frac{X^{2}}{2 a}])) d X = \\ = \int_{- \infty}^{\infty} - \frac{A^{2} ℏ^{2}}{2 metro} X Exp [- \frac{X^{2}}{2 a}] (- \frac{3 X}{a} Exp [- \frac{X^{2}}{2 a}] + \frac{X^{3}}{a^{2}} Exp [- \frac{X^{2}}{2 a}]) d X \\ = \int_{- \infty}^{\infty} \frac{A^{2} ℏ^{2}}{2 metro} (\frac{3 X^{2}}{a} Exp [- \frac{X^{2}}{a}] - \frac{X^{4}}{a^{2}} Exp [- \frac{X^{2}}{a}]) d X \\ = \frac{A^{2} ℏ^{2}}{2 metro} \underset{¿Cómo puedo solucionar esto?}{\underset{⏟}{\int_{- \infty}^{\infty} (\frac{3 X^{2}}{a} Exp [- \frac{X^{2}}{a}] - \frac{X^{4}}{a^{2}} Exp [- \frac{X^{2}}{a}]) d X}} = \dots \end{aligned}

$\begin{align} \dots &= \int\limits_{-\infty}^{\infty} Ax \exp \left[{-\tfrac{x^2}{2a}}\right]\left(-\tfrac{\hbar^2}{2m} A \left(-\tfrac{3x}{a}\exp \left[{-\tfrac{x^2}{2a}}\right] + \tfrac{x^3}{a^2}\exp \left[{-\tfrac{x^2}{2a}}\right]\right)\right)\,dx = \\ &= \int\limits_{-\infty}^{\infty} -\frac{A^2\hbar^2}{2m}x\exp\left[-\tfrac{x^2}{2a}\right] \left(-\tfrac{3x}{a}\exp \left[{-\tfrac{x^2}{2a}}\right] + \tfrac{x^3}{a^2}\exp \left[{-\tfrac{x^2}{2a}}\right]\right) \,dx\\ &= \int\limits_{-\infty}^{\infty} \frac{A^2\hbar^2}{2m}\left(\tfrac{3x^2}{a}\exp \left[{-\tfrac{x^2}{a}}\right] - \tfrac{x^4}{a^2}\exp \left[{-\tfrac{x^2}{a}}\right]\right) \,dx\\ &= \frac{A^2\hbar^2}{2m} \underbrace{\int\limits_{-\infty}^{\infty}\left(\tfrac{3x^2}{a}\exp \left[{-\tfrac{x^2}{a}}\right] - \tfrac{x^4}{a^2}\exp \left[{-\tfrac{x^2}{a}}\right]\right) \,dx}_{\text{How do i solve this?}}=\dots\\ \end{align}$

Este es el punto en el que me admití a mí mismo que estaba perdido en una integral y usé WolframAlpha para ayudarme. Bueno, obtuve un resultado extraño . Mi profesor de alguna manera entendió esto ( $m$ es una masa de un electrón) pero no sé cómo:

\begin{aligned} \dots = \frac{ℏ^{2}}{2 metro} \cdot \frac{3}{2 a} = \frac{3 ℏ^{2}}{4 metro a} = 0.058 mi V \end{aligned}

$\begin{align} \dots = \frac{\hbar^2}{2m}\cdot\frac{3}{2a} = \frac{3\hbar^2}{4ma} = 0.058eV \end{align}$

¿Alguien puede ayudarme a entender la última integral? ¿Cómo puedo resolverlo? ¿Es posible analíticamente (parece que el profesor lo hizo, pero no estoy seguro)?

Vibert

Wolfram/Mathematica definitivamente puede hacer esas integrales, pero omitió algunas señales al ingresar la entrada (

e^{x^{2} / a}

$e^{x^2/a}$ en lugar de

e^{- x^{2} / a}

$e^{-x^2/a}$ ). Si usa Mathematica, es un buen consejo enseñar Mathematica que

a > 0

$a > 0$ , es decir, use "$ Supuestos = {a>0}" por ejemplo.

71GA

Ahora que he arreglado la entrada en Wolfram alpha obtengo un resultado

9 / 4 \sqrt{π a}

$9/4\,\sqrt{\pi a}$ mientras

A^{2} = 2 / a \sqrt{π a}

$A^2=2/a\,\sqrt{\pi a}$ y así obtengo un resultado diferente al de mi profesor:

\frac{A^{2} ℏ^{2}}{2 m} 9 / 4 \sqrt{π a} = \frac{2 ℏ^{2}}{a \sqrt{π a} 2 m} 9 / 4 \sqrt{π a} = \frac{9 ℏ^{2}}{4 a m}

$\dfrac{A^2\hbar^2}{2m}9/4\,\sqrt{\pi a} = \dfrac{2\hbar^2}{a\sqrt{\pi a}2m}9/4\,\sqrt{\pi a} = \frac{9\hbar^2}{4a m}$

Respuestas (2)

Cálculo del valor esperado para la energía cinética ⟨Ek⟩⟨Ek⟩\langle E_k \rangle para una función de onda conocida

Wolfram/Mathematica definitivamente puede hacer esas integrales, pero omitió algunas señales al ingresar la entrada ( $e^{x^2/a}$ en lugar de $e^{-x^2/a}$ ). Si usa Mathematica, es un buen consejo enseñar Mathematica que $a > 0$ , es decir, use "$ Supuestos = {a>0}" por ejemplo.
Ahora que he arreglado la entrada en Wolfram alpha obtengo un resultado $9/4\,\sqrt{\pi a}$ mientras $A^2=2/a\,\sqrt{\pi a}$ y así obtengo un resultado diferente al de mi profesor: $\dfrac{A^2\hbar^2}{2m}9/4\,\sqrt{\pi a} = \dfrac{2\hbar^2}{a\sqrt{\pi a}2m}9/4\,\sqrt{\pi a} = \frac{9\hbar^2}{4a m}$

Trimok · Answer 1

En su problema, necesita integrales de tipo:

$I_{2n} = \int x^{2n} e^{- \large \frac{x^2}{a}} ~ dx$

Tenga en cuenta primero que $I_0 = (\pi)^\frac{1}{2} (\frac{1}{a})^ {-\frac{1}{2}}$

Ahora, es fácil ver que existe una relación de recurrencia entre las integrales:

I_{2 norte + 2} = - \frac{\partial I_{2 norte}}{\partial (\frac{1}{a})}

$I_{2n+2} = - \frac{\partial I_{2n}}{\partial (\frac{1}{a}) }$

Por ejemplo,

I_{2} = - \frac{\partial I_{0}}{\partial (\frac{1}{a})} = \frac{1}{2} (π)^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{a})^{- \frac{3}{2}} = \frac{1}{2} (π)^{\frac{1}{2}} a^{\frac{3}{2}}

$I_2 = - \frac{\partial I_{0}}{\partial (\frac{1}{a}) } = \frac{1}{2}(\pi)^\frac{1}{2} (\frac{1}{a})^ {- \large\frac{3}{2}} = \frac{1}{2}(\pi)^\frac{1}{2} ~a^ {\large\frac{3}{2}}$

I_{4} = - \frac{\partial I_{2}}{\partial (\frac{1}{a})} = \frac{3}{2} \frac{1}{2} (π)^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{a})^{- \frac{5}{2}} = \frac{3}{2} \frac{1}{2} (π)^{\frac{1}{2}} a^{\frac{5}{2}}

$I_4 = - \frac{\partial I_{2}}{\partial (\frac{1}{a}) } = \frac{3}{2} \frac{1}{2}(\pi)^\frac{1}{2} (\frac{1}{a})^ {- \large\frac{5}{2}} = \frac{3}{2} \frac{1}{2}(\pi)^\frac{1}{2} ~a^ {\large\frac{5}{2}}$

Una fórmula general es:

I_{2 norte} = I_{0} (2 norte - 1)!! (\frac{a}{2})^{norte} = \frac{(π)^{\frac{1}{2}}}{2^{norte}} (2 norte - 1)!! a^{norte + \frac{1}{2}}

$I_{2n} = I_0 ~(2n-1)!! ~(\frac{a}{2})^n = \frac{(\pi)^\frac{1}{2}}{2^n} ~(2n-1)!! ~a^{n+\frac{1}{2}}$ dónde

(2 n - 1)!! = (2 n - 1) (2 n - 3) . . . . . .5 .3 .1

$(2n-1)!! = (2n-1)(2n-3)......5.3.1$

Jorge Lavín · Answer 2

Mi profesor de física estadística las llama integrales de Laplace. $I(h)$ .

I (h) = \int_{0}^{\infty} X^{h} {mi}^{- a^{2} X^{2}} d X

$I(h)=\int_{0}^{\infty}x^{h}e^{-a^2x^2}dx$

Tenga en cuenta que

\int_{- \infty}^{\infty} X^{h} {mi}^{- a^{2} X^{2}} d X = 2 I (h)

$\int_{-\infty}^{\infty}x^{h}e^{-a^2x^2}dx=2I(h)$

algunos valores

I (0) = \frac{\sqrt{π}}{2 a}, I (1) = \frac{1}{2 a^{2}}, I (2) = \frac{\sqrt{π}}{4 a^{3}}, I (3) = \frac{1}{2 a^{4}}, I (4) = \frac{3 \sqrt{π}}{8 a^{5}}

$I(0)=\frac{\sqrt{\pi}}{2a}, I(1)=\frac{1}{2a^2}, I(2)=\frac{\sqrt{\pi}}{4a^3},I(3)=\frac{1}{2a^4}, I(4)=\frac{3\sqrt{\pi}}{8a^5}$

Puede utilizar la fuerza bruta integrando por partes para deshacerse de $x^{h}$ y use $I(0)$ un resultado clásico, o puede usar la inducción sobre $h$ o algún otro método.

Entonces, ¿crees que puedo resolver la integral por partes?
Si, solo tienes que saber $I(0)$ y disminuir el término $x^{h}$ hasta que lo consigas $I(0)$ , y por supuesto simetrías como la integral de una función impar en un intervalo simétrico es cero y así sucesivamente.

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