Obtención del hamiltoniano cuántico para partículas cargadas a partir de la formulación de la integral de trayectoria

Estaba trabajando en Shankar 8.6.4, que se trata de obtener en una dimensión el operador hamiltoniano de una partícula cargada a partir de la formulación de la integral de trayectoria.

Primero, obtengo el propagador en un intervalo de tiempo$\epsilon$, cual es

$$U(x,\epsilon;x') = \sqrt{m \over 2\pi i\hbar\epsilon} \exp\left({i\over\hbar}\left( {m\eta^2\over 2\epsilon} - {q\eta\over c}A(x+\alpha\eta,0) - \epsilon q\phi(x+\alpha\eta,0)\right)\right)$$

dónde$\eta = x'-x$,$A$es el vector potencial, y$\phi$es el potencial escalar.

Luego, obtengo una expresión para la evolución temporal del estado de onda inicial en un intervalo de tiempo:

$$\begin{align} \psi(x,\epsilon) &= \int_{-\infty}^\infty U(x,\epsilon;x') \psi(x',0) \, dx'\\ &= \sqrt{m \over 2\pi i\hbar\epsilon} \int_{-\infty}^\infty \exp\left({i\over\hbar}\left( {m\eta^2\over 2\epsilon} - {q\eta\over c}A(x+\alpha\eta,0) - \epsilon q\phi(x+\alpha\eta,0)\right)\right) \psi(x+\eta,0) \, d\eta \end{align}$$

Amplio las siguientes expresiones en series:

$$\begin{align} \exp\left(-{iq\eta\over\hbar c}A(x+\alpha\eta,0)\right) &= 1 - {iq\eta\over\hbar c}A(x+\alpha\eta,0) - {1\over 2}\left({q\eta\over\hbar c}A(x+\alpha\eta,0)\right)^2+\cdots\\ &= 1 - {iq\eta\over\hbar c}A(x,0) + \left(- {1\over 2}\left({q\over\hbar c}A(x,0)\right)^2-{i\alpha q\over\hbar c}{\partial A(x,0)\over\partial x}\right)\eta^2+\cdots \end{align}$$

$$\begin{align} \exp\left(-{i\epsilon q\over\hbar}\phi(x+\alpha\eta,0)\right) &= 1 - {i\epsilon q\over\hbar}\phi(x+\alpha\eta,0) + \cdots\\ &= 1 - {i\epsilon q\over\hbar}\phi(x,0) + \cdots \end{align}$$

$$\begin{align} \psi(x+\eta,0) &= \psi(x,0) + \eta{\partial\psi(x,0)\over\partial x} + {\eta^2\over 2}{\partial^2\psi(x,0)\over\partial x^2} + \cdots \\ \end{align}$$

El estado de onda después del intervalo de tiempo es

$$\begin{align} \psi(x,\epsilon) =& \sqrt{m \over 2\pi i\hbar\epsilon} \int_{-\infty}^\infty \exp\left(-{m\eta^2\over 2i\hbar\epsilon}\right) \\ & \cdot \exp\left(-{iq\eta\over\hbar c}A(x+\alpha\eta,0)\right) \exp\left(-{i\epsilon q\over\hbar}\phi(x+\alpha\eta,0)\right) \psi(x+\eta,0) \, d\eta \\ =& \sqrt{m \over 2\pi i\hbar\epsilon} \int_{-\infty}^\infty \exp\left(-{m\eta^2\over 2i\hbar\epsilon}\right) \\ & \cdot \left( \left(1-{i\epsilon q\phi_x\over\hbar}\right)\psi_x + \eta^2\left(- {1\over 2}\left({q A_x\over\hbar c}\right)^2\psi_x-{i\alpha q\over\hbar c}{\partial A_x\over\partial x}\psi_x-{i q\over\hbar c}A_x{\partial\psi_x\over\partial x}+{1\over 2}{\partial^2\psi_x\over\partial x^2}\right) \right) \, d\eta\\ =& \left(1-{i\epsilon q\phi_x\over\hbar}\right)\psi_x + \left({i\epsilon\hbar\over m}\right)\left(- {1\over 2}\left({q A_x\over\hbar c}\right)^2\psi_x-{i\alpha q\over\hbar c}{\partial A_x\over\partial x}\psi_x-{i q\over\hbar c}A_x{\partial\psi_x\over\partial x}+{1\over 2}{\partial^2\psi_x\over\partial x^2}\right)\\ =& \psi_x - {i\epsilon\over\hbar}\left( q\phi_x + {1\over 2m}\left({q A_x\over c}\right)^2+{i\hbar\alpha q\over m c}{\partial A_x\over\partial x}+{i\hbar q\over m c}A_x{\partial\over\partial x}-{\hbar^2\over 2m}{\partial^2\over\partial x^2} \right)\psi_x \end{align}$$

donde para campos y estados,$\omega_x=\omega(x,0)$.

De acuerdo con lo anterior,

$$\newcommand{\ket}[1]{\left| #1\right\rangle} i\hbar\dot{\ket{\psi}} = \left(q\phi + {1\over 2m}\left({q A\over c}\right)^2 - {\alpha q \over m c} P A - {q \over m c} A P + {P^2\over 2m} \right)\ket{\psi}$$

pero después de la prescripción del punto medio$\alpha={1\over 2}$, el hamiltoniano debe ser

$$q\phi + {1\over 2m}\left({q A\over c}\right)^2 - {q \over 2 m c} P A - {q \over 2 m c} A P + {P^2\over 2m}$$

¿Qué pasó con el coeficiente de$AP$?