Oscilador anarmónico QM - diagramas de Feynman, cálculo de energía libre

Si la expresión para el propagador que proporcionaste es correcta, la integral no es tan abrumadora como puede parecer a primera vista. Esencialmente nos enfrentamos a la integración,

$$\int_0^c d\tau \int_0^c d\tau' \, \cosh^n(a-b|\tau-\tau'|)$$

para$a,b, c>0$y$n \in \mathbb Z$. voy a demostrar la$n=2$caso. Podemos expandir el integrando como,

$$\cosh^2(a-b|\tau-\tau'|) = \frac12 + \frac14 e^{2a} e^{-2b|\tau-\tau'|} + \frac14e^{-2a}e^{2b|\tau-\tau'|}.$$

Por lo tanto, la única parte difícil es averiguar cómo integrar,

$$\int_0^c d\tau \int_0^c d\tau' \, e^{\gamma |\tau-\tau'|}, \quad \gamma \in \mathbb R.$$

Vemos que estamos integrando sobre un cuadrado$[0,c]\times[0,c]$. Podemos dividir este cuadrado diagonalmente en dos regiones, el triángulo superior con$\tau-\tau' <0$y la mitad inferior con$\tau-\tau' >0$, y luego podemos sumar las contribuciones. Para la mitad inferior, tendríamos,

$$\int_0^c d\tau \int_0^\tau d\tau' \, e^{\gamma(\tau-\tau')} = \frac{1}{\gamma}\int_0^c d\tau \, (e^{\gamma \tau} -1) = \frac{1}{\gamma^2}(e^{\gamma c} - \gamma c - 1).$$

Ahora para la región superior,$|\tau-\tau'| = \tau'-\tau$y tenemos,

$$\int_0^c d\tau' \int_0^{\tau'} d\tau \, e^{\gamma(\tau'-\tau)} = \frac{1}{\gamma^2}(e^{\gamma c} - \gamma c - 1)$$

y entonces tenemos eso,

$$\int_0^c d\tau \int_0^c d\tau' \, e^{\gamma |\tau-\tau'|} = \frac{2}{\gamma^2}(e^{\gamma c} - \gamma c - 1).$$

Volviendo al original$n=2$integral, utilizando este resultado y simplificando los rendimientos,

$$\int_0^c d\tau \int_0^c d\tau' \, \cosh^2(a-b|\tau-\tau'|) = \frac{1}{4b^2} \left[ \cosh(2(a-bc)) - \cosh 2a + 2bc(bc+\sinh 2a)\right].$$

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Es tentador generalizar ahora el resultado para todas las potencias pares. Usando el teorema del binomio generalizado y la expansión de$\cosh$en términos de exponenciales, tenemos,

$$\cosh^{2n}(x) = \frac{1}{2^{2n}}\sum_{k=0}^{2n} \binom{2n}{k} e^{(2n-2k)x} = \frac{1}{2^{2n}} \binom{2n}{n} + \sum_{k\neq n} \binom{2n}{k} e^{(2n-2k)x}.$$

Por lo tanto, la integral se puede escribir como,

$$\int_0^c d\tau \int_0^c d\tau' \, \cosh^{2n}(a-b|\tau-\tau'|) = \frac{c^2}{2^{2n}}\binom{2n}{n}+\sum_{k\neq n} \binom{2n}{k} \int_0^c d\tau \int_0^c d\tau' \, e^{2(n-k)(a-b|\tau-\tau'|)}.$$

Esta integral ya la sabemos calcular:

$$\int_0^c d\tau \int_0^c d\tau' \, e^{2(n-k)(a-b|\tau-\tau'|)} = e^{2a(n-k)}\int_0^c d\tau \int_0^c d\tau' \, e^{2b(k-n)|\tau-\tau'|}$$ $$=\frac{1}{2b^2(k-n)^2}e^{2a(n-k)} \left[ e^{2bc(k-n)} + 2bc(n-k)-1\right].$$

Por lo tanto, la integral se reduce a la suma finita de$k=0,\dots, 2n$(sin$k=n$), como

$$\frac{c^2(2n)!}{2^{2n} (n!)^2} + \frac{1}{2b^2}\sum_{k \neq n} \frac{1}{(k-n)^2}\binom{2n}{k}e^{2a(n-k)}\left[ e^{2bc(k-n)} + 2bc(n-k)-1\right].$$

Devolviendo el propagador, reemplazando las constantes, la integral de$G^{2n}(\tau-\tau')$es la suma finita,

$$\boxed{\frac{(2n)!}{(2\omega)^{2n}\sinh^{2n} \hbar \omega \beta /2} \left[ \frac{\hbar^2 \beta^2}{2^{2n}(n!)^2 } + \frac{1}{2\omega^2} \sum_{k\neq n}\frac{1}{(k-n)^2(2n-k)! k!} e^{\hbar\omega \beta (n-k)} \left( e^{2\hbar\omega\beta(k-n)}+2\hbar\omega\beta(n-k)-1\right)\right]}$$