Peskin & Schroeder: Propagación libre de partículas

pareces pensar que

$$\begin{equation} \frac{1}{(2\pi)^2i\Delta x} \int_{0}^{\infty}dp \hspace{2pt}p\hspace{2pt}e^{-i(\mathbf{p}^2/2m)t} \left( e^{-ip\Delta x} - e^{ip\Delta x} \right) = 0 \end{equation}$$

probablemente porque las funciones exponenciales parecen cancelarse, pero esto no es así. Tenga en cuenta que

$$e^{-ip\Delta x} - e^{ip\Delta x} = -2i\sin(p\Delta x)$$

lo que significa que quieres calcular

$$\begin{equation} \frac{-2}{(2\pi)^2\Delta x} \int_{0}^{\infty}dp \hspace{2pt}p\hspace{2pt}e^{-i(\mathbf{p}^2/2m)t}\sin(p\Delta x) \end{equation}$$

y es bastante obvio que esto no desaparecerá. De hecho, podemos trabajar un poco en el segundo término de la integral original

$$\begin{equation} \frac{-1}{(2\pi)^2i\Delta x} \int_{0}^{\infty}dp \hspace{2pt}p\hspace{2pt}e^{-i(\mathbf{p}^2/2m)t} e^{ip\Delta x} \end{equation}$$

sustituto$p' = -p$, entonces esto es igual

$$\begin{equation} \frac{1}{(2\pi)^2i\Delta x} \int_{-\infty}^{0}dp' \hspace{2pt}p'\hspace{2pt}e^{-i(\mathbf{p'}^2/2m)t} e^{-ip'\Delta x} \end{equation}$$

por lo que su integral original es sólo

$$\begin{equation} \frac{1}{(2\pi)^2i\Delta x} \int_{-\infty}^{\infty}dp \hspace{2pt}p\hspace{2pt}e^{-i(\mathbf{p}^2/2m)t} e^{-ip\Delta x} = \frac{1}{(2\pi)^2i\Delta x} i \frac{d}{d\Delta x}\int_{-\infty}^{\infty}dp \hspace{2pt}e^{-i(\mathbf{p}^2/2m)t} e^{-ip\Delta x} \end{equation}$$

esta es solo la derivada de una integral gaussiana normal. Usando la fórmula general para integrales gaussianas

$$\begin{equation} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2 + bx} dx = \sqrt{\frac{\pi}{a}} ~e^{\frac{b^2}{4a}} \end{equation}$$

que RGJ ya ha proporcionado en su respuesta obtenemos inmediatamente

$$\begin{equation} (\frac{m}{2\pi it})^{3/2} \exp(i \frac{\Delta x^2 m}{2t}) \end{equation}$$

cuál es el resultado deseado.

Tenga en cuenta la integral de una función gaussiana arbitraria,

$$\begin{equation} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2 + bx} dx = \sqrt{\frac{\pi}{a}} ~e^{\frac{b^2}{4a}} \end{equation}$$

Pista :

Haga la hipótesis de que la integral de una función gaussiana arbitraria (ver la respuesta de RGJ)

$$\begin{equation} \int_{-\infty}^{\infty} e^{\boldsymbol{-}ax^2\boldsymbol{+} bx} dx = \sqrt{\frac{\pi}{a}} ~e^{(b^2/4a)} \tag{01}\label{eq01} \end{equation}$$ es válido para $\;a,b\;$números imaginarios puros y para nuestro caso $$\begin{align} a &=i\left(\dfrac{t}{2m}\right) \tag{02.1}\label{eq02.1}\\ b_k &=i\left(\mathbf{x}\boldsymbol{-}\mathbf{x}_0\right)_k, \quad k=1,2,3 \tag{02.2}\label{eq02.2} \end{align}$$ Entonces $$\begin{align} \int\limits_{\boldsymbol{-\infty}}^{\boldsymbol{+\infty}}e^{\boldsymbol{-}a p_1^2\boldsymbol{+}b_1 p_1}\mathrm dp_1 &=\sqrt{\dfrac{\pi}{a}}\,e^{(b_1^2/4a)}=\sqrt{\dfrac{2\pi m}{i t}}\,e^{im\vert\left(\mathbf{x}\boldsymbol{-}\mathbf{x}_0\right)_1\vert^2/2t} \tag{03.1}\label{eq03.1}\\ \int\limits_{\boldsymbol{-\infty}}^{\boldsymbol{+\infty}}e^{\boldsymbol{-}a p_2^2\boldsymbol{+}b_2 p_2}\mathrm dp_2 &=\sqrt{\dfrac{\pi}{a}}\,e^{(b_2^2/4a)}=\sqrt{\dfrac{2\pi m}{i t}}\,e^{im\vert\left(\mathbf{x}\boldsymbol{-}\mathbf{x}_0\right)_2\vert^2/2t} \tag{03.2}\label{eq03.2}\\ \int\limits_{\boldsymbol{-\infty}}^{\boldsymbol{+\infty}}e^{\boldsymbol{-}a p_3^2\boldsymbol{+}b_3 p_3}\mathrm dp_3 &=\sqrt{\dfrac{\pi}{a}}\,e^{(b_3^2/4a)}=\sqrt{\dfrac{2\pi m}{i t}}\,e^{im\vert\left(\mathbf{x}\boldsymbol{-}\mathbf{x}_0\right)_3\vert^2/2t} \tag{03.3}\label{eq03.3} \end{align}$$ Multiplicando las 3 ecuaciones anteriores una al lado de la otra tenemos $$\begin{equation} \int\limits_{\boldsymbol{-\infty}}^{\boldsymbol{+\infty}}\int\limits_{\boldsymbol{-\infty}}^{\boldsymbol{+\infty}}\int\limits_{\boldsymbol{-\infty}}^{\boldsymbol{+\infty}}e^{\boldsymbol{-}a \Vert\mathbf{p}\Vert^2\boldsymbol{+}\mathbf{b}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{p}}\mathrm dp_1\mathrm dp_2\mathrm dp_3=\left(\dfrac{\pi}{a}\right)^{3/2}e^{(\Vert\mathbf{b}\Vert^2/4a)}=\left(\dfrac{2\pi m}{i t}\right)^{3/2}e^{im\Vert\mathbf{x}\boldsymbol{-}\mathbf{x}_0\Vert^2/2t} \tag{04}\label{eq04} \end{equation}$$ o $$\begin{equation} \int\limits_{\mathbb{R}^3} e^{\boldsymbol{-}i (\Vert\mathbf{p}\Vert^2/2m)t\boldsymbol{+}i\mathbf{p}\boldsymbol{\cdot}\left(\mathbf{x}-\mathbf{x}_0\right)}\mathrm d^3\mathbf{p}=\left(\dfrac{2\pi m}{i t}\right)^{3/2}e^{im\Vert\mathbf{x}\boldsymbol{-}\mathbf{x}_0\Vert^2/2t} \tag{05}\label{eq05} \end{equation}$$ y $$\begin{equation} \frac{1}{(2\pi)^3}\int\limits_{\mathbb{R}^3} e^{\boldsymbol{-}i (\Vert\mathbf{p}\Vert^2/2m)t\boldsymbol{+}i\mathbf{p}\boldsymbol{\cdot}\left(\mathbf{x}-\mathbf{x}_0\right)}\mathrm d^3\mathbf{p}=\left(\dfrac{m}{2\pi i t}\right)^{3/2}e^{im\Vert\mathbf{x}\boldsymbol{-}\mathbf{x}_0\Vert^2/2t} \tag{06}\label{eq06} \end{equation}$$ Así que trata de probar la hipótesis .