Propagador de oscilador armónico

Estoy leyendo el libro de Teoría Cuántica de Campos de Anthony Duncan, y ando un poco perdido con algo de propagadores.

Primero define el propagador. k ( q F , T ; q i , 0 ) como la amplitud de detección de una partícula que inicialmente estaba en q i en el tiempo 0 en otro lugar q F en algún momento t, es decir:

k ( q F , t ; q i , o ) =< q F | mi − i H t | q i >

Y luego para el oscilador armónico simple:

H = pag 2 2 metro + 1 2 metro w 2 q 2

Dice que el propagador satisface la ecuación diferencial:

i ∂ ∂ t k ( q F , t ; q i , 0 ) = − 1 2 metro ∂ 2 k ( q F , t ; q i , 0 ) ∂ q F 2 + 1 2 metro w 2 q F 2 k ( q F , t ; q i , 0 )

Y no tengo ni idea de dónde viene esa ecuación. Supongo que es una ecuación similar a la de Schrödinger, pero k es una amplitud, no un ket de estado, así que estoy perdido.

¿Alguien tiene una pista?

Desde una perspectiva, simplemente pregunta cómo ∂ ∂ t ⟨ X | mi A t | y ⟩ = ⟨ X | A mi A t | y ⟩ = A ⟨ X | mi A t | y ⟩ debe tener sentido. Es el caso sin el término pag 2 2 metro ¿claro?
¡Sí, ahora está muy claro!

Respuestas (1)

El elemento matriz ⟨ X | ψ ⟩ dónde X se permite variar es solo la función de onda

ψ ( X ) = ⟨ X | ψ ⟩ .

Entonces el elemento de la matriz ⟨ X | pag | ψ ⟩ es solo la representación de la función de onda del estado pag | ψ ⟩ . Sabemos que el operador de cantidad de movimiento en la representación de la función de onda actúa como una derivada, por lo que

⟨ q F | pag | ψ ⟩ = − i ∂ ∂ q F ψ ( q F ) .

También | q F ⟩ es un estado propio de la q operador (que es auto-adjunto) por lo que

⟨ q F | q | ψ ⟩ = q F ψ ( q F ) .

Ahora, para mostrar la ecuación diferencial que está buscando, simplemente tome | ψ ⟩ = mi − i H t | q i ⟩ , y aviso

i ∂ ∂ t ⟨ q F | ψ ⟩ = ⟨ q F | H | ψ ⟩ = 1 2 metro ⟨ q F | pag 2 | ψ ⟩ + 1 2 metro ω 2 ⟨ q F | q 2 | ψ ⟩ .

Ahora aplique las identidades anteriores dos veces.

Diría que la segunda ecuación con la derivada no es tan evidente, ¿verdad?
¿Y cuál es la mejor manera de resolver la ecuación diferencial parcial para el propagador K?
Bueno, es la única solución fundamental de Schr eqn para el oscilador, con la condición inicial canónica para el propagador (δ fctn para t=0), por lo que obtienes instantáneamente el kernel de Mehler de una docena de formas diferentes, según el artículo de WP.
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