Derivación de la forma lagrangiana de la integral de trayectoria de Feynman a través de la integración gaussiana

La forma hamiltoniana de la integral de trayectoria para la evolución temporal de una sola partícula en una dimensión (en mecánica cuántica no relativista) es:

$$\langle x|\hat U(t_2,t_1)|x'\rangle=\int \mathcal Dx \mathcal Dp \ e^{\frac i {\hbar} \int_{t_1}^{t_2} dt \ \big(p(t) \dot{x}(t) - \mathcal H(x(t),p(t))\big)}$$ Ahora considere que la partícula individual tiene un hamiltoniano cuadrático estándar $\mathcal H(x,p)=\frac{p^2}{2m} +V(x)$. Reemplazando esto en la ecuación anterior, podemos usar la definición de la integral de trayectoria para obtener (ecuación 3.5 de las teorías de campo de materia condensada de Atland y Simons): $$\langle x|\hat U(t_2,t_1)|x'\rangle=\lim_{N\to \infty} \int_{-\infty}^{\infty}...\int_{-\infty}^{\infty} \prod_{n=1}^{N-1}dx_n \prod_{n=1}^{N}\frac {dp_n}{2\pi} \ e^{\frac {i}{\hbar} \sum_{n=1}^{N} \delta t\big(p_n \dot x_n -\frac{p_n^2}{2m}-V(x) \big)}$$ Dónde $\delta t = \frac{t_2-t_1}{N}$y $\dot x_n \equiv \frac{x_n-x_{n-1}} {\delta t}$. Ahora podemos ver que todas las integrales sobre momentos son gaussianas y se pueden evaluar fácilmente. Escribiendo la suma en el exponente como producto de exponenciales $e^{\frac {i}{\hbar} \sum_{n=1}^{N} \delta t\big(p_n \dot x_n -\frac{p_n^2}{2m}-V(x) \big)} = \prod_{n=1}^{N}e^{\frac {i}{\hbar} \delta t\big(p_n \dot x_n -\frac{p_n^2}{2m}-V(x) \big)}$, y fusionando los dos productos, podemos identificar fácilmente productos de integrales gaussianas sobre los momentos, que se pueden evaluar. El resultado final es (ecuación 3.8 de Atland y Simons): $$\langle x|\hat U(t_2,t_1)|x'\rangle=\int \mathfrak Dx \ e^{\frac i {\hbar} \int_{t_1}^{t_2} dt \ \big(\frac {1}{2m} \dot{x}^2(t) - V(x(t))\big)}=\int \mathfrak Dx \ e^{\frac i {\hbar} \int_{t_1}^{t_2} dt \ \mathcal L(x,\dot x)}$$ Dónde $\mathfrak Dx$es la "medida" redefinida: $$\mathfrak Dx \equiv \lim_{N \to \infty} \big(\frac {mN}{i2 \pi \hbar (t_2-t_1)}\big)^{N/2} \prod_{n=1}^{N-1}dx_n$$

Mi pregunta es:

La medida redefinida tiene un coeficiente constante que diverge como$N^{N/2} \to \infty$. No entiendo lo que esto significa físicamente. Supongo que todas las integrales sin este factor van a cero, por lo que multiplicado por este factor divergente da una respuesta plausible finita para$\langle x|\hat U|x'\rangle$. Otra forma en que veo esto es que, al menos en el contexto de la mecánica estadística, todas las cantidades físicas, como los valores esperados, se dan como una proporción de integrales de trayectoria para que los términos divergentes se cancelen. Sin embargo, no puedo encontrar una manera de mostrar esto en el contexto de la mecánica cuántica, con la integral de trayectoria desempeñando el papel de propagador.