Estados coherentes y su existencia

Preámbulo:

(Esta parte está tomada de estas notas de clase ). La idea del estado coherente se originó con el estudio de Glauber de las propiedades de coherencia de la luz cuantificada. Como el campo electromagnético se cuantifica como un oscilador armónico, un campo eléctrico monomodo se puede escribir como

$$\begin{align} E(r,t)= E_0 \boldsymbol{\epsilon} e^{-i(\vec k\cdot \vec r-\omega t)}\hat a+ E_0 \boldsymbol{\epsilon} e^{i(\vec k\cdot \vec r-\omega t)}\hat a^\dagger =\hat E^+(r,t)+\hat E^-(r,t) \end{align}$$ con $\hat E^+(r,t)\sim \hat a e^{+i\omega t}$y $\hat E^-(r,t)\sim \hat a^\dagger e^{-i\omega t}$dónde $\boldsymbol{\epsilon}$explica la polarización del campo.

Para estados final e inicial$\vert f\rangle$y$\vert i\rangle$respectivamente, la probabilidad de detectar un fotón es proporcional a

$$P_{fi}=\vert\langle f\vert \hat E^+(r, t)\vert i\rangle\vert^2$$ (ya que el fotón debe ser aniquilado desde el estado inicial) por lo que la intensidad de la luz en un punto $r$se obtiene sumando todos los estados finales $$I(r,t)=\sum_{f} P_{fi}=\langle i\vert \hat E^{-} (r, t)\hat E^{+}(r, t)\vert i\rangle =\hbox{Tr}\left(\rho \hat E^{-}(r,t) \hat E^{+}(r,t)\right)$$ para $\rho=\sum_{i,j} p_{ij}\vert i\rangle \langle j\vert$. La cantidad $$G^{(1)}(r,r')= \hbox{Tr}\left(\rho \hat E^{-}(r,t) \hat E^{+}(r',t)\right)$$ y más generalmente $$G^{(n)}(r_1,\dots,r_n, r'_1,\ldots r'_n): = \hbox{Tr}\left(\rho \hat E^{-}(r_1,t) \ldots \hat E^{-}(r_n,t) \hat E^{+}(r_1',t)\ldots \hat E^{+}(r_n',t)\right)$$ es el $n$Función de coherencia de orden.

Para dos fuentes ubicadas en$r_1$,$r_2$, la intensidad de la luz en un punto$r$se obtiene así de

$$\begin{align} I(r, t)\sim G^{(1)}(r_1,r_1)+G^{(1)}(r_1,r_1) + 2 \vert G^{(1)}(r_1,r_2)\vert \cos(\varphi(x_1,x_2)) \end{align}$$ donde las funciones de correlación se calculan usando $$\begin{align} \hat E^+(r, t)&= E_1^+(r, t)+ E_2^+ (r, t)\, ,\\ \hat E_i^{+}(r, t)&=E_i^+\left(r_i, t-\frac{s_i}{c}\right)\frac{e^{i(k-\omega/c)}}{s_i} \end{align}$$ dónde $s_i$es la distancia entre la fuente $i$y el punto $r$donde se va a calcular la intensidad. Así, si $G^{(1)}(r_1,r_2)\ne 0$, la intensidad mostrará franjas de interferencia. El máximo se alcanza cuando $G^{(1)}(r_1,r_2)$se factoriza en el producto de dos funciones $$\begin{align} G^{(1)}(r_1,r_2)= f_1(r_1)f_2(r_2)\, . \end{align}$$ Se dice que el campo es coherente con $n$-th orden si $G^{(n)}$factoriza.

Estados coherentes de Glauber:

Esto sucede cuando el estado es un estado propio del oscilador armónico. Glauber demostró que los estados coherentes del oscilador armónico (también llamados estados coherentes de Glauber)

$$\begin{align} \vert \alpha\rangle=\sum_{n}\frac{\alpha^n}{\sqrt{n!}}\vert n\rangle \qquad \alpha\in \mathbb{C} \tag{1} \end{align}$$ son coherentes con todos los órdenes y, de hecho, satisfacen $\hat a\vert\alpha\rangle=\alpha\vert\alpha\rangle$. Tenga en cuenta que, desde $\hat a$no es hermítica, sus valores propios no son necesariamente reales.

Resulta que también se puede escribir

$$\begin{align} \vert \alpha \rangle &= D(\alpha)\vert 0\rangle \, , \qquad D(\alpha)=e^{\alpha \hat a^\dagger-\alpha^*\hat a} \tag{2} \end{align}$$ dónde $D(\alpha)$es un operador de traducción en $(x,p)$espacio que traducirá el estado fundamental a un punto $(x_0,p_0)$dada por las partes real e imaginaria de $\alpha$. Uno puede demostrar fácilmente que $$\begin{align} \hat a \vert\alpha\rangle = \hat a D(\alpha)\vert 0\rangle = D(\alpha)(\hat a+\alpha)\vert 0\rangle = \alpha D(\alpha)\vert 0\rangle =\alpha \vert\alpha\rangle\, . \end{align}$$ Estos estados tienen una serie de propiedades interesantes. Por ejemplo, saturan la relación de incertidumbre en el sentido de que $$\begin{align} \Delta x\Delta p=\frac{\hbar}{2} \end{align}$$ para todos los tiempos Los valores medios individuales $$\begin{align} \langle x(t)\rangle \sim \cos(\omega t+ \phi_0)\, ,\qquad \langle p(t)\rangle \sim \sin(\omega t+ \phi_0) \tag{3} \end{align}$$ como para un oscilador armónico clásico. (Vea esta publicación y esta publicación para más detalles).

Los estados coherentes de la ecuación (1) NO son estados propios del oscilador armónico hamiltoniano, por lo que su evolución temporal no es trivial. Sin embargo, resulta que$\vert\alpha(t)\rangle =\vert e^{i\omega t}\alpha(0)\rangle$, es decir, la evolución resulta ser tan simple como el parámetro complejo$\alpha$simplemente recoge una fase dependiente del tiempo. Esta es la raíz del comportamiento de$\langle x(t)\rangle$y$\langle p(t)\rangle$en la ecuación (3). Los estados coherentes son temporalmente estables , en el sentido de que la forma de la distribución de probabilidad simplemente se mueve de un lado a otro en el tiempo sin distorsionarse.

Perelmov estados coherentes:

Perelomov aprovechó la propiedad de desplazamiento de la ecuación (2) para definir el estado coherente generalizado como una traducción de un estado específico (o fiduciario ). Para el momento angular, el estado coherente (Perelomov) es entonces

$$\begin{align} \vert\theta,\varphi\rangle = R(\theta,\varphi)\vert J,J\rangle := R_z(\varphi)R_y(\theta)\vert J,J\rangle\, \end{align}$$ (ver también esta publicación sobre estados coherentes de espín).

Usando las herramientas habituales, esto también se puede escribir como

$$\begin{align} \vert\theta,\varphi\rangle &= e^{\zeta' J_-}e^{-\eta J_z}e^{\zeta J_+}\vert L,L\rangle \, ,\\ &=e^{\zeta' J_-}e^{-\eta J_z}\vert L,L\rangle \end{align}$$ dónde $$\begin{align} \zeta=\tan\frac{\theta}{2}e^{i\varphi}\, ,\qquad \eta= -2\log(\cos\vert\zeta\vert)\, . \end{align}$$ Debido a que el espacio abarcado por $\{\vert J,M\rangle, M=-J,\ldots,J\}$es de dimensión finita, se demuestra fácilmente que $J_-$no puede tener estados propios, por lo que esta propiedad de los estados coherentes del oscilador armónico no se generaliza. Sin embargo, los estados coherentes generalizados comparten otras propiedades con los estados coherentes del oscilador armónico. Por ejemplo, $$\begin{align} \Delta \tilde J_x\Delta\tilde J_y=\frac{1}{4}\langle \tilde J_z\rangle \end{align}$$ dónde $\tilde J_i= R(\theta,\varphi) J_i R^{-1}(\theta,\varphi)$y todas las cantidades se evalúan para el estado $\vert\theta,\varphi\rangle$. Nuevamente, estos no son estados propios de $J_z$pero tienen propiedades de evolución "agradables" cuando $H=\omega J_z$.

Conexión con límite clásico:

Finalmente, Onofri [en Onofri, Enrico. "Una nota sobre las representaciones estatales coherentes de los grupos de Lie". Revista de Física Matemática 16.5 (1975): 1087-1089 ; desafortunadamente no puedo encontrar un archivo de acceso abierto para esto] mostró que, con la definición de Perelomov, uno podría construir un corchete de Poisson (clásico) usando la variable$\zeta$y su conjugado, o la generalización de esta variable cuando se considera algo diferente al momento angular. En el caso del momento angular, este paréntesis se escribe como

$$\begin{align} \{f,g\}= \frac{\partial f}{\partial \zeta}\frac{\partial f}{\partial \zeta^*} -\frac{\partial f}{\partial \zeta^*}\frac{\partial f}{\partial \zeta} \end{align}$$ que se puede expresar, usando la expresión explícita para $\zeta$en términos de las variables angulares $\theta,\varphi$, hasta factores de escala, como $$\begin{align} \{f,g\}=\frac{1}{r\sin\theta} \left(\frac{\partial f}{\partial \theta}\frac{\partial f}{\partial \varphi} -\frac{\partial f}{\partial \varphi}\frac{\partial f}{\partial \theta}\right) \end{align}$$ destacando así el papel de los estados coherentes en la transición de la mecánica cuántica a la clásica.