¿Cuáles son los postulados mínimos para hacer mecánica cuántica en la formulación de la integral de trayectoria sin conocer la formulación del operador?

El formalismo de la integral de trayectoria no reemplaza realmente al formalismo del operador. Todavía necesita saber que el espacio de estado es un espacio de Hilbert, que las probabilidades se calculan mediante productos internos cuadráticos en este espacio, que los observables son operadores en este espacio, que la evolución temporal se implementa mediante un operador unitario, etc.

Básicamente, tienes que empezar con los axiomas de Dirac-von Neumann (o algo muy similar):

1. Los estados son rayos en un espacio de Hilbert$\mathcal{H}$.
2. Los observables son operadores autoadjuntos en$\mathcal{H}$.
3. El valor esperado de un observable$A$en un estado representado por un vector unitario$\psi$es$E[A] = \langle \psi, A \psi\rangle$.

Necesitas estos postulados para hacer cualquier conexión con el experimento. La integral de trayectoria no ofrece alternativas. (Está utilizando implícitamente estos postulados básicos cuando habla de superposiciones de estados y cuando etiqueta los puntos finales de las trayectorias con cantidades observables). Pero estos postulados son bastante mínimos. Ni siquiera mencionan la evolución del tiempo. Así que la gente suele añadir otro axioma:

4. La evolución temporal se representa en el espacio de estados mediante operadores unitarios$U(t)$, por$t \in \mathbb{R}$.

El formalismo de la integral de caminos y el formalismo canónico no son realmente conjuntos de postulados físicos en competencia. Son solo métodos diferentes para configurar ejemplos que satisfacen los postulados físicos anteriores.

Veamos un ejemplo, una partícula que se mueve en un potencial$V$en 3 espacios.

En el formalismo canónico, declaras que el espacio de estado es$L^2(\mathbb{R}^3)$, que los observables son funciones de los operadores estándar de multiplicación y diferenciación$Q$y$P$, y que la evolución temporal está dada por$U(t) = e^{-itH/\hbar}$dónde$H$es el hamiltoniano$P^2/2m + V(Q)$.

En el formalismo de la integral de trayectoria, comienza con los mismos datos de entrada (el espacio de configuración$\mathbb{R}^3$, la masa$m$, y el potencial$V$), y los usa para definir integrales en el espacio de caminos. Luego, utiliza estas integrales de ruta para construir un espacio de Hilbert, observables que actúan sobre el espacio de Hilbert y operadores de evolución temporal.$U(t)$. La integral de trayectoria construye directamente los elementos de la matriz de$U(t)$, y luego obtienes la ecuación de Schrödinger.

Modulo algunos problemas de normalización, esto es lo que dicen sus ecuaciones 1 y 2: Su$G(x_2,t_2; x_1, t_1)$es el elemento de la matriz$\langle x_2 | U(t_2 - t_1) | x_1 \rangle$, y la ecuación 2 simplemente dice que$\psi(t_2) = U(t_2 - t_1) \psi(t_1)$.

Tenga en cuenta también: la derivación de la ecuación de Schrödinger no es profunda. Todo lo que dice la ecuación de Schrödinger es que las traslaciones temporales actúan unitariamente en el espacio de Hilbert.$i\hbar \partial_t \psi(t) = H \psi(t)$es la forma infinitesimal equivalente de$\psi(t) = e^{-itH/\hbar} \psi(0)$. Es interesante si has elegido$H$por alguna analogía clásica y ahora necesita encontrar$U(t)$/ Resuelvo el problema del estado propio. En la integral de trayectoria, sin embargo, se tiene$U(t)$ya, y encuentras$H$a través de$H = i\hbar \partial_t U(t)|_{t=0}$.

Del mismo modo, demuestra que el espacio de Hilbert que obtiene de la integral de trayectoria es en realidad$L^2(\mathbb{R}^3)$, que los observables son los operadores habituales de posición y momento, y que el hamiltoniano es realmente el que cabría esperar.

Entonces, ¿cómo se obtiene realmente un espacio de Hilbert a partir de una integral de trayectoria? Básicamente, divides un segmento de tiempo$[0,t]$dentro$[0,s] \cup [s,t]$, y observa cómo la integral de trayectoria se descompone en integrales sobre los intervalos más pequeños y sobre los valores de campo en el límite. La integral sobre los límites define el producto interior del espacio de Hilbert. Luego, los observables se definen utilizando la integral de trayectoria para calcular los elementos de su matriz. El Apéndice 1 de Polchinksi Vol 1 tiene una muy buena explicación de esto.

-- Nota al pie --

Si tiene cuidado con los detalles matemáticos, construye integrales de trayectoria euclidiana y obtiene la medida de Wiener$d\mu(\phi) = e^{-S(\phi)} d\phi$asociado a$V$y$m$. Luego usa el teorema de reconstrucción de Osterwalder-Schrader para definir el espacio de Hilbert y los operadores. Esto se trata con cierto detalle en los capítulos 3 y 6 del libro de física cuántica de Glimm & Jaffe .

La idea básica es esta:

1. Las medidas de Wiener le permiten integrar ciertas funciones en el espacio de caminos, a saber, aquellas que pueden aproximarse sistemáticamente mediante funciones de la forma$F_{t_i}(\phi) = \phi(t_1) \phi(t_2) .. \phi(t_n)$.
2. Las medidas de Wiener son un reflejo positivo: Dejemos$\mathcal{F}^+$Sea la colección de funciones de la forma anterior para las cuales las aproximaciones solo involucran$t_i > 0$. Entonces la forma bilineal definida por$B(F_{t_i},G_{t_j}) = \int \overline{F_{-t_i}(\phi)} G_{t_j}(\phi) d\mu(\phi)$es no negativo.
3. El espacio de Hilbert es el cociente$\mathcal{H} =\mathcal{F}^+ / \operatorname{kernel}(B)$.
4. Cualquier función$F$en$\mathcal{F}^+$actúa sobre$\mathcal{F}^+$a través de la multiplicación. Estas multiplicaciones descienden para definir observables en$\mathcal{H}$.
5. Traducciones de$t > 0$guiarse por$\mathcal{F}^+$. Esto desciende a la acción de un semi-grupo$\mathbb{R}_{\geq 0}$, y esta acción de semigrupo continúa analíticamente a una acción unitaria de$\mathbb{R}$.

Hay axiomas , debido a Osterwalder & Schrader, que garantizan que una medida integral del camino euclidiano define un espacio de Hilbert y observables que satisfacen una forma más fuerte de los axiomas anteriores (los axiomas de Wightman). Sin embargo, no creo que los axiomas del sistema operativo sean postulados físicos. No se refieren a cantidades observables y hacen uso del tiempo imaginario de una manera que no se generaliza a todas las teorías cuánticas.