Derivación de Feynman de la ecuación de Schrödinger. Dependencia espacial potencial

Estoy trabajando en el libro "Quantum Mechanics and Path Integrals" de Feynman and Hibbs. Al encontrar la correspondencia con la ecuación de Schrödinger toma

$$\eqalign{&\psi(x,t+\epsilon) = {}\cr &\int_{-\infty}^{\infty} \!\!\exp\left\{\frac{i\,\epsilon}{\hbar} L\left(\frac{x + y}{2},\frac{x - y} {\epsilon}\right) \right\}\, \psi(y,t)\,\frac{\mathrm{d}y}{A(\epsilon)}\cr}$$

Haciendo el Lagrangiano explícitamente como$L = m\dot{x}^2/2 - V(x,t)$, y haciendo la sustitución$y = x + \eta$El da

$$\eqalign{ &\psi(x,t+\epsilon) = \int_{-\infty}^{\infty} \exp\left\{ \frac{i m \eta^2}{2\hbar\epsilon} \right\} \cr &\qquad\exp\left\{ -\frac{i\, \epsilon}{\hbar} V\left( x+ \frac{\eta}{2}, t \right) \right\} \psi(x +\eta, t) \, \frac{\mathrm{d}\eta}{A(\epsilon)}\cr}$$

Ahora, la primera exponencial varía muy rápidamente y él dice que la mayor parte de la integral será aportada por$\eta$en el orden de 0 a$\sqrt{2\hbar \epsilon/m}$. para un pequeño$\eta$ahora puede expandir la segunda exponencial, así como$\psi$

$$\eqalign{ &\psi(x,t) + \epsilon\, \frac{\partial \psi}{\partial t} = {}\cr &\quad\int_{-\infty}^{\infty} \exp\left\{ \frac{i m \eta^2}{2\hbar\epsilon} \right\} \left[1 -\frac{i\, \epsilon}{\hbar} V \left( x, t \right)\right] \cr &\qquad\left[\psi(x,t) + \eta \frac{\partial \psi}{\partial x} +\frac{\eta^2}{2} \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} \right] \, \frac{\mathrm{d}\eta}{A(\epsilon)}\cr}$$

Aquí reemplaza$\epsilon V(x +\frac{\eta}{2},t)$para$\epsilon V(x,t)$diciendo que el error es de orden superior a$\epsilon$.

Mi problema es que la expansión de$V(x +\frac{\eta}{2},t)$tendría un término de orden$\eta$, que cuando se multiplica por$\eta \frac{\partial \psi}{\partial x}$daría un término de orden$\eta^2$y su integración sería distinta de cero. Los términos de la orden$\eta^2$no se descuidan, ya que al ir con la segunda derivada de$\psi$se conserva. El término problemático es entonces

$$\int_{-\infty}^{\infty} \exp\left\{ \frac{i m \eta^2}{2\hbar\epsilon} \right\} \frac{i\, \epsilon \, \eta^2}{\hbar} \left. \frac{\partial V}{\partial (x + \eta/2)} \right|_{(x,t)} \frac{\partial \psi}{\partial x} \, \frac{\mathrm{d}\eta}{A(\epsilon)}$$

Creo que el problema puede ser que no estoy trabajando bien la serie de Taylor.

Gracias por su ayuda.