Oscilador armónico modificado por pozo infinito: ¿son posibles las soluciones analíticas?

La función de onda$\psi(x)$satisfará la ecuación de Schrödinger para el oscilador armónico en un intervalo$x\in (-\frac L2 , \frac L2)$. Podríamos escribirlo como

$$\psi '' +\left(\frac{2E}{\hbar \omega} - \xi^2\right) \psi =0,\tag{1}$$ dónde $\xi = \sqrt{\frac{m\omega}\hbar} x$es el reescalado $x$-la coordenada y el guión denota diferenciación wrt $\xi$.

Sin embargo, la ecuación ahora tiene nuevas condiciones de contorno:

$$\psi\left(\pm \sqrt{\frac{m\omega}\hbar} \frac L2\right)=0. \tag{2}$$ Entonces, para resolverlo, necesitamos escribir la solución general de la ecuación (1). Se hace en términos de funciones hipergeométricas confluentes $M$y $U$: $$\psi(\xi) = e^{-\frac{\xi^2}2 }\,\left(C_1 \xi\, M\left(\frac34 - \frac{E}{2\hbar \omega},\frac 32,\xi^2\right)+C_2 \xi\, U\left(\frac34 - \frac{E}{2\hbar \omega},\frac 32,\xi^2\right)\right).$$ ( Para el valor general del parámetro$E$esta función de onda no se puede reducir a tiempos polinómicos exponenciales ).

Como el potencial es una función par, podemos exigir que$\psi$debe tener una paridad específica. Esto nos permite eliminar uno de los coeficientes:

• $\psi$ impar ($\psi(0)=0$):$C_2=0.$

• $\psi$ incluso ($\psi'(0)=0$):

  $$C_2 = \frac{1}{2\sqrt\pi} \Gamma \left(\frac 14 - \frac{E}{2\hbar \omega} \right) C_1$$

Coeficiente$C_1$sólo está determinada por la norma de$\psi$y no debe entrar en los cálculos del espectro de energía. El único parámetro que queda es la energía.$E$, que debe determinarse imponiendo la condición de frontera (2) (solo se necesita una de las ecuaciones ya que ya impusimos la paridad). Esto nos daría el espectro de energía del sistema.

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^{Tenga en cuenta que si el valor$\xi=\sqrt{\frac{m\omega}\hbar}\frac L2$coincide con una de las raíces de algún polinomio de Hermite$H_n(\xi)$, entonces la energía$\hbar\omega(n+\frac12)$y función de onda$\psi_n$de oscilador armónico sería la solución para este sistema. Pero, por supuesto, el número$n$en este caso no significaría que este es el$n$-ésimo nivel.}

Creo que en este caso el pozo cuadrado es el efecto dominante, porque para cualquier valor de$m\omega_0^2$el potencial del pozo es siempre más fuerte. Por lo tanto, podría comenzar con las soluciones del pozo y calcular el cambio de energía de primer orden debido al potencial del oscilador armónico:

$$E_n^{(1)} = \left\langle n^{(0)} \right| V_1 \left|n^{(0)} \right\rangle$$ así como correcciones de orden superior. sospecho que quieres $\frac{1}{2} m \omega_0^2 \frac{L^2}{4}$ser mucho más pequeño que $\frac{\hbar^2 n^2 \pi^2}{2 m L^2}$.

En cuanto a una solución "exacta", recuerde el método en serie para resolver el modelo de oscilador armónico (esto se hace en cualquier libro de texto QM), donde escribe la función de onda como un polinomio multiplicando$e^{-\frac{m\omega}{2\hbar}x^2}$, y luego obtenga una relación de recurrencia para este polinomio. Bueno, sospecho que en este caso no quieres descartar la otra mitad, es decir, un polinomio multiplicando$e^{+\frac{m\omega}{2\hbar}x^2}$. Esto lleva a una ecuación que no es exactamente la ecuación de Hermite. Además, en el tratamiento ordinario, la relación de recurrencia termina (dando valores propios discretos) para evitar que la solución explote en$x\to \infty$. Sin embargo, aquí en cambio requerimos que$\psi\left(\frac{L}{2}\right) = 0$, que es un requisito diferente.