Límite como x1→x0x1→x0x_1 \to x_0 para el propagador del oscilador armónico

Question

Límite como x1→x0x1→x0x_1 \to x_0 para el propagador del oscilador armónico

Física
propagador
probabilidad
integral de trayectoria
mecánica cuántica
oscilador armónico

usuario71299

Considere una partícula no relativista de masa $m$ , moviéndose a lo largo de $x$ -eje en un potencial $V(x) = m\omega^2x^2/2$ . usar métodos de integrales de trayectoria para encontrar la probabilidad de encontrar la partícula entre $x_1$ y $x_1 + dx_1$ si la partícula está en $x_0$ en el momento $t = 0$ .

Uno encuentra que el propagador es

PAG (X_{1}, t_{1}; X_{0}, 0) = \sqrt{\frac{metro ω}{2 π i ℏ pecado ω t_{1}}} {mi}^{\frac{i metro ω}{2 ℏ pecado ω t_{1}} ((X_{0}^{2} + X_{1}^{2}) porque ω t_{1} - 2 X_{0} X_{1})}

$P(x_1, t_1; x_0, 0) = \sqrt{{{m\omega}\over{2\pi i\hbar \sin \omega t_1}}}e^{{{im\omega}\over{2\hbar \sin\omega t_1}}((x_0^2 + x_1^2)\cos\omega t_1 - 2x_0x_1)}$ y la probabilidad requerida de ser

{| \int PAG (X_{1}, t_{1}; X_{0}, 0) ψ (X_{1}) d X_{1} |}^{2}

$\left|\int P(x_1, t_1; x_0, 0)\psi(x_1)\,dx_1\right|^2$ por algún paquete de ondas

ψ

$\psi$ localizado entre

x_{1}

$x_1$ ,

x_{1} + d x_{1}

$x_1 + dx_1$ . en el limite

x_{1} \to x_{0}

$x_1 \to x_0$ , tenemos

\underset{(X_{1} - X_{0}) \to 0}{límite} PAG (X_{1}, t_{1}; X_{0}, 0) = \sqrt{\frac{metro ω}{2 π i ℏ pecado ω T}} {mi}^{\frac{i metro ω}{ℏ pecado ω T} (X_{0}^{2} porque ω T - X_{0}^{2})} .

$\lim_{(x_1 - x_0) \to 0} P(x_1, t_1; x_0, 0) = \sqrt{{m\omega}\over{2\pi i\hbar \sin\omega T}}e^{{{im\omega}\over{\hbar\sin\omega T}}(x_0^2\cos\omega T - x_0^2)}.$

Mi pregunta es, ¿cuál es el significado físico de tomar este límite? $x_1 \to x_0$ ?

fénix87

si desea la probabilidad en un intervalo infinitesimal, entonces no necesita integrar; el límite entonces representa la probabilidad de encontrar la partícula entre

x_{0}

$x_0$ y

d x_{0}

$\text dx_0$ en el momento

t

$t$ .

Respuestas (3)

Límite como x1→x0x1→x0x_1 \to x_0 para el propagador del oscilador armónico

si desea la probabilidad en un intervalo infinitesimal, entonces no necesita integrar; el límite entonces representa la probabilidad de encontrar la partícula entre $x_0$ y $\text dx_0$ en el momento $t$ .

David Vercauteren · Answer 1

La densidad de probabilidad

\underset{X_{1} \to X_{0}}{límite} PAG (X_{1}, t_{1}; X_{0}, 0)

$\lim_{x_1\to x_0} P(x_1, t_1; x_0, 0)$ es básicamente la densidad de probabilidad de una partícula en la posición

x_{0}

$x_0$ estar de vuelta en esa posición después de un tiempo

t_{1}

$t_1$ ha pasado.

usuario63931 · Answer 2

Como $T = t_1 - t_0 \to 0$ , tenemos

\begin{aligned} \underset{t_{1} - t_{0} \to 0}{límite} ⟨ X_{1}, t_{1} | X_{0}, t_{0} ⟩ & = \underset{T \to 0}{límite} {(\frac{metro ω}{2 π i pecado ω T})}^{1 / 2} Exp [\frac{i metro ω}{2 pecado ω T} ((X_{1}^{2} + X_{0}^{2}) porque ω T - 2 X_{0} X_{1})] \\ = \underset{ϵ = i T / metro \to 0}{límite} \frac{1}{\sqrt{2 π ϵ}} Exp [- \frac{(X_{1} - X_{0})^{2}}{2 ϵ}] = d (X_{1} - X_{0}) . \end{aligned}

$\begin{align}\lim_{t_1 -~ t_0~ \to~ 0} \langle x_1, t_1\,|\,x_0, t_0\rangle &= \lim_{T~ \to~ 0}\left({{m\omega}\over{2\pi i\sin\omega T}}\right)^{1/2}\text{exp}\left[{{im\omega}\over{2\sin\omega T}}\left(\left(x_1^2 + x_0^2\right)\cos \omega T - 2x_0x_1\right)\right]\\ &=\lim_{\epsilon ~= ~iT/m~ \to~ 0} {1\over{\sqrt{2\pi\epsilon}}}\text{exp}\left[-{{(x_1 - x_0)^2}\over{2\epsilon}}\right] = \delta(x_1 - x_0).\end{align}$ Esto es justo como se esperaba de la ortonormalidad de

\hat{x} (t)

$\hat{x}(t)$ valores propios en

t = t_{0}

$t = t_0$ .

qmecanico · Answer 3

Ideológicamente hablando, el valor absoluto del propagador al cuadrado

\begin{matrix} (1) & | k (X_{F}, t_{F}; X_{i}, t_{i}) |^{2} d X_{F} = \frac{metro ω}{2 π ℏ pecado ω Δ t} d X_{F}, Δ t := t_{F} - t_{i} > 0, \end{matrix}

$\tag{1} |K(x_f,t_f;x_i,t_i)|^2 \mathrm{d}x_f ~=~ \frac{m\omega}{2\pi\hbar\sin\omega \Delta t}\mathrm{d}x_f, \qquad \Delta t~:=~t_f-t_i~>~0,$

es la probabilidad de que un oscilador armónico que comience en $t_i$ en posición $x_i$ terminará dentro del intervalo de posición $[x_f,x_f+\mathrm{d}x_f]$ en el momento $t_f$ .

En particular OP puede estudiar el caso $x_i=x_f$ , es decir, la probabilidad de volver a la misma posición en un tiempo dado $\Delta t$ .

En contra de la intuición, de acuerdo con la ec. (1), la probabilidad no depende de las posiciones inicial y final $x_i$ y $x_f$ ¡en absoluto! Esto prevé el hecho de que la noción de probabilidades absolutas (en oposición a las relativas) del kernel de Feynman $K(x_f,t_f;x_i,t_i)$ no se puede mantener en un espacio de posición no compacto, cf. por ejemplo, ref. 1 y esta publicación de Phys.SE.

En general, la interpretación probabilística de la ec. (1) solo se mantiene por tiempos cortos $\Delta t\ll \tau$ , dónde $\tau$ es una escala de tiempo característica del sistema.

Referencias:

RP Feynman y AR Hibbs, Quantum Mechanics and Path Integrals, 1965.

Límite como x1→x0x1→x0x_1 \to x_0 para el propagador del oscilador armónico

usuario71299

fénix87

Respuestas (3)

David Vercauteren

usuario63931

qmecanico

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