Hamiltoniano de dos estados en la integral de trayectoria de Feynman

En las construcciones típicas de la integral de trayectoria que he visto, siempre parten de la suposición de que el hamiltoniano con el que comienza es una función de X y pag , también conocido como para norte grados de libertad:

H = ∑ k norte pag k 2 2 metro k + V ( X 1 , X 2 , ⋯ , X norte ) ,

lo que permite utilizar la división Trotter para simplificar el propagador. En la derivación de la integral de trayectoria, este paso está en

⟨ X F | mi − i H t / ℏ | X 0 ⟩ = ∫ d X 1 ⋯ ∫ d X norte − 1 ∏ k = 1 norte ⟨ X k | mi − i H Δ t k / ℏ | X k − 1 ⟩

donde puedes escribir en el límite que norte → ∞

mi − i H Δ t k / ℏ ≈ mi − i V Δ t k / 2 ℏ mi − i T Δ t k / ℏ mi − i V Δ t k / 2 ℏ

donde los términos potenciales ahora están directamente unidos a los estados de posición, lo que lleva a cosas buenas en la derivación.

¿Cómo cambia la derivación y, por lo tanto, cambia la formulación de la integral de trayectoria una vez que ya no asume que comienza con un hamiltoniano que depende de la posición y el momento?

Digamos que hay un hamiltoniano de dos estados H = A σ X + B σ z (dónde σ son las matrices de espín de Pauli), y ahora la división de Trotter ya no tiene sentido. ¿Cómo se procede a calcular el propagador desde aquí?

Está buscando una integral de ruta de estado coherente (espín).
Tenga en cuenta que en la derivación de la integración de ruta a la que está acostumbrado, solo está insertando norte resoluciones de identidad y luego tomando norte → ∞ . Puedes hacer exactamente lo mismo con los giros... es solo una resolución diferente de identidad.
@DanielSank Entonces, para ser fácilmente compatible con las matrices de espín de Pauli en el hamiltoniano, ¿nuestra estrategia debería ser insertar conjuntos completos de estados que sean estados propios del hamiltoniano? De esa manera, cuando insertas los estados y te encuentras con algo como ⟨ Ω | mi − i H t / ℏ | Ω ′ ⟩ , dónde | Ω ⟩ ¿Hay algún estado propio en el que el operador de evolución en el tiempo se pueda sacar fácilmente del sostén y el ket?
Más o menos, sí. Ver el comentario de Adam.

Respuestas (1)

La revisión de Shankar sobre el grupo de renormalización utiliza un sistema de dos niveles como ejemplo para introducir el formalismo de números de Grassman, la integral de ruta fermiónica, etc. ( también disponible en arXive ). El sistema de dos niveles, por supuesto, puede verse como un solo estado fermiónico. Sin embargo, como señaló @Adam en los comentarios, es posible que necesite una integral de ruta de giro, en cuyo caso, las buenas referencias son los libros de Nagaosa o Auerbach .

Observación
Todas las fuentes citadas anteriormente tratan sistemas de muchas partículas, es decir, trabajan principalmente en el formalismo de segunda cuantización. El OP parece sugerir una integral de trayectoria de una sola partícula, en la línea del libro de Feynmann-Hibbs: rara vez se usan y las fuentes son escasas.

Aquí, en lugar de estados de momento, uno podría usar estados propios de espín | σ ⟩ y calcular

⟨ σ F | mi − i H t / ℏ | σ i ⟩ = ∑ σ 1 ∑ σ 2 . . . ∑ σ norte − 1 ∏ k = 1 norte ⟨ σ k | mi − i H Δ t k / ℏ | σ k − 1 ⟩
etcétera. Sin embargo, esto perderá algunos términos de fase importantes, por lo que recomiendo consultar los libros citados anteriormente (o simplemente buscar en Google la derivación completa).

¡Gracias por la respuesta! Siento que ha sido razonablemente difícil encontrar un recurso sobre esto (incluso después de varias búsquedas en Google). ¿Es simplemente más fácil de hacer en sistemas de muchas partículas?
Es más útil en sistemas de muchas partículas: en QM básico, uno realmente no necesita integrales de ruta.
En esta referencia ( researchgate.net/profile/Mekki-Aouachria/publication/… ), los autores parecen tomar su estrategia de estado propio de giro anterior, solo con estos estados coherentes, | Ω ⟩ = | θ , ψ ⟩ = mi − i ψ S z mi − i θ S y | ↑ ⟩ ... ¿Esto tiene sentido?
Entiendo que formalmente solo están rotando el estado de giro, pero supongo que estoy confundido acerca de por qué harían esto. ¿Puede esto generar un estado de giro hacia abajo para que ⟨ Ω | mi − i H t / ℏ | Ω ′ ⟩ Cuál es la amplitud de probabilidad para encontrar el estado en el estado de espín hacia arriba o hacia abajo después del tiempo t?
Esto es lo que realmente quise decir cuando hablé de textos de muchos cuerpos: es más probable que lo hagan en términos de estados coherentes, por lo que uno debe aprender primero los estados coherentes, que son más fáciles de aprender primero para bosones/fermiones en lugar de para espines, lo que requiere conocer la segunda cuantización, etc. Esto quiere decir que las integrales de trayectoria se vuelven útiles en un nivel bastante avanzado.
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