Una pregunta sobre la continuidad de las acciones grupales

Question

Una pregunta sobre la continuidad de las acciones grupales

continuidad
Matemáticas
teoría de grupos
acciones de grupo
topología general

James Arten

Estoy recuperando algunas definiciones y conceptos de antiguos estudios de álgebra/topología y estoy tratando de mostrar lo siguiente. Dada una acción de grupo

\begin{aligned} Z \times R \to R \\ (norte, X) ⟼ norte \cdot X := X + norte \end{aligned}

$\begin{align}&\mathbb{Z} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\\ &(n,x) \longmapsto n \cdot x := x+n\end{align}$

es decir, la traducción a la izquierda de un número real por un número entero $n$ . Entonces quiero mostrar que este mapa es continuo con respecto a la topología natural en $\mathbb{R}$ y topología del producto $\mathbb{Z} \times \mathbb{R}$ .

Ya que por cada $n \in \mathbb{Z}$ podemos definir un mapa

φ_{norte} : R \to R

$\varphi_n : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$

tal que $\varphi_n(x) := x+n, \, \, \varphi^{-1}_n(x) = x-n$ , entonces considerando un conjunto abierto $A = B_\varepsilon(x+n)$ cómo demostrar con rigor que $\varphi^{-1}(A)$ ¿Esta abierto?

¿Es este un buen comienzo?

EDITAR:

Tratando de seguir las pistas:

Si $U \subset \mathbb{R}$ abre entonces $\forall u \in U \, \, \exists \varepsilon >0 \, : \, B_{\varepsilon}(u) \subseteq U$ . Pero entonces tendría que demostrar que $B_{\varepsilon'}(u-x) \subseteq U-x$ para algunos nuevos $\varepsilon'$ ?

2) ¿Es esto algo que debo probar? Incluso si tenemos una topología de producto, diría que $\mathbb{Z} \subset \mathbb{R}$ entonces se puede considerar la topología del subespacio donde los conjuntos abiertos de $\mathbb{Z}$ son intersecciones de conjuntos en $\mathbb{Z}$ con conjuntos abiertos de $\mathbb{R}$ (exactamente lo sugerido). Pero, ¿cómo se relaciona esto con la topología del producto?

connor harris

Dos consejos para empezar: (a) si

U \subset R

$U \subset \mathbb{R}$ esta abierto entonces

{u - x : u \in U}

$\{u - x: u \in U\}$ también está abierto; (b) conjuntos abiertos en

Z \times R

$\mathbb{Z} \times \mathbb{R}$ son los que tienen la forma

\dots \times ({- 1} \times U_{- 1}) \cup ({0} \times U_{0}) \cup ({1} \times U - 1) \cup ({2} \times U_{2}) \times \dots

$\cdots \times (\{-1\} \times U_{-1}) \cup (\{0\} \times U_0) \cup (\{1\} \times U-1) \cup (\{2\} \times U_2) \times \cdots$ donde todos los conjuntos

U_{i}

$U_i$ son conjuntos abiertos en

R

$\mathbb{R}$ .

James Arten

He editado la pregunta agregando algunas consideraciones a la luz de sus sugerencias. Muchas gracias

Respuestas (1)

Una pregunta sobre la *continuidad* de las acciones grupales

Dos consejos para empezar: (a) si $U \subset \mathbb{R}$ esta abierto entonces $\{u - x: u \in U\}$ también está abierto; (b) conjuntos abiertos en $\mathbb{Z} \times \mathbb{R}$ son los que tienen la forma $\cdots \times (\{-1\} \times U_{-1}) \cup (\{0\} \times U_0) \cup (\{1\} \times U-1) \cup (\{2\} \times U_2) \times \cdots$ donde todos los conjuntos $U_i$ son conjuntos abiertos en $\mathbb{R}$ .
He editado la pregunta agregando algunas consideraciones a la luz de sus sugerencias. Muchas gracias

connor harris · Answer 1

Bosquejo de prueba para la pista 1: Supongamos que $U \subset \mathbb{R}$ Esta abierto. Definir el conjunto $U - x_0$ como $\{u - x_0 : u \in U\}$ . Suponer $y \in U - x_0$ . Entonces $y + x_0 \in U$ , así que hay algunos $\epsilon > 0$ tal que $U$ contiene todo el intervalo $(y + x_0 - \epsilon, y + x_0 + \epsilon)$ . Esto significa que $U - x_0$ contiene el intervalo $(y - \epsilon, y + \epsilon)$ .

Bosquejo de prueba para la pista 2: Recuerde que la topología del producto en $X \times Y$ es generado por conjuntos abiertos de la forma $U \times V$ , dónde $U \subseteq X$ y $V \subseteq Y$ estan abiertos. La topología en $\mathbb{Z}$ es la topología discreta, por lo que los conjuntos singleton $\{n\}$ son abiertos, y también lo son los conjuntos $\{n\} \times U$ dónde $U \subset \mathbb{R}$ Esta abierto. Cualquier unión infinita de estos conjuntos también es abierta.

Finalmente, $\varphi^{-1}(A)$ (no es difícil de mostrar) es una unión de conjuntos de la forma $\{n\} \times (A - n)$ por cada entero $n \in \mathbb{Z}$ .

Una pregunta sobre la continuidad de las acciones grupales

James Arten

connor harris

James Arten

Respuestas (1)

connor harris

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