¿Existe una relación entre las nociones de acciones grupales continuas y discontinuas?

Question

¿Existe una relación entre las nociones de acciones grupales continuas y discontinuas?

Matemáticas
teoría de grupos
acciones de grupo
topología general
grupos topológicos

R_D

Dejar $G$ ser un grupo de homeomorfismos de un espacio topológico $X$ . la acción de $G$ en $X$ se dice que es discontinua en un punto $x \in X$ si

$G_x :=$ el estabilizador de $x$ , es finito.
$x$ tiene un barrio abierto $U$ tal que $gU \cap U = \emptyset$ para todos $g \notin G_x$

Si $G$ es una acción grupal topológica en un espacio topológico $X$ entonces se dice que la acción es continua si el mapa $F : G \times X \rightarrow X$ dada por $(g,x) \mapsto gx$ es continuo

Mi pregunta es: ¿son estas dos nociones opuestas entre sí (considerando la forma en que se nombran)? Eso es si $G$ es un grupo topológico que actúa sobre $X$ entonces el mapa $F$ no ser continuo en algún punto $(x,g)\in G$ significa que la acción es discontinua en $x \in X$ ? No puedo ver por qué esto debería ser cierto.

¿Puede alguien darme un ejemplo de una acción grupal continua que sea discontinua (si es posible)?

Gracias.

MU

mira a

Z

$\mathbb{Z}$ actuando

R

$\mathbb{R}$ .

YCor

Es "correctamente discontinuo", no "discontinuo".

Respuestas (1)

¿Existe una relación entre las nociones de acciones grupales continuas y discontinuas?

cazador · Answer 1

"Discontinuo" es una extraña elección de terminología para esto, que desafortunadamente es estándar. No es lo contrario de continuo en este contexto. De hecho, uno más o menos nunca considera acciones de grupos topológicos que no son continuos.

Por ejemplo, la acción de $\mathbb{Z}$ en $\mathbb{R}$ por traducción lo hará. (es decir, por $n$ en $\mathbb{Z}$ y $x \in \mathbb{R}$ , $n * x := x+n$ ). Los estabilizadores son triviales, y para un fijo $x$ en $\mathbb{R}$ , encontrar $U$ como en su definición, puede tomar un intervalo abierto centrado en $x$ de longitud inferior a $1$ . Ciertamente esta acción, vista como un mapa de $\mathbb{Z} \times \mathbb{R}$ a $\mathbb{R}$ , es continuo (por ejemplo porque es la restricción del mapa de suma $\mathbb{R} \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ .)

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R_D

MU

YCor

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