Producto estrella y soportes Poisson

Question

Producto estrella y soportes Poisson

Física
espacio de fase
corchetes de poisson
Transformada de Wigner
formalismo hamiltoniano
deformación-cuantización

D.Silva

Tengo la siguiente definición de producto estrella,

⋆ = Exp [\frac{i ℏ}{2} (\frac{\overset{\leftarrow}{\partial}}{\partial q^{I}} \frac{\vec{\partial}}{\partial {PAG}_{I}} - \frac{\overset{\leftarrow}{\partial}}{\partial {PAG}_{I}} \frac{\vec{\partial}}{\partial q^{I}})]; I = 1, \dots, METRO

$\begin{equation} \star=\exp\left[\frac{i\hbar}{2}\left(\frac{\overleftarrow{\partial}}{\partial Q^{I}}\frac{\overrightarrow{\partial}}{\partial P_{I}}-\frac{\overleftarrow{\partial}}{\partial P_{I}}\frac{\overrightarrow{\partial}}{\partial Q^{I}}\right)\right];\,\,\,I=1,\ldots,M \end{equation}$ Así que si

A (P, Q)

$A(P,Q)$ y

B (P, Q)

$B(P,Q)$ son matrices observables, cuyos paréntesis de poisson se escriben como,

{A, B} = \frac{\partial A}{\partial q^{I}} \frac{\partial B}{\partial {PAG}_{I}} - \frac{\partial A}{\partial {PAG}_{I}} \frac{\partial B}{\partial q^{I}},

$\begin{equation} \left\{A,B\right\}=\frac{\partial A}{\partial Q^{I}}\frac{\partial B}{\partial P_{I}}-\frac{\partial A}{\partial P_{I}}\frac{\partial B}{\partial Q^{I}}, \end{equation}$ ¿Cómo puedo escribir una expresión para

{A, B}_{⋆}

$\{A,B\}_{\star}$ ?

qmecanico

¿Qué buscas exactamente? Hay varias expresiones de este tipo.

DanielC

Entonces quieres

A ⋆ B - B ⋆ A

$A\star B - B\star A$ ?

D.Silva

Quiero una expresión para

{A, B}_{⋆}

$\{A,B\}_{\star}$ en términos de

⋆

$\star$ .

D.Silva

Quiero saber si existe un análogo a los brackets poisson considerando el producto estrella.

qmecanico

Relacionado: physics.stackexchange.com/q/19770/2451 y enlaces allí.

Cosmas Zachos

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¿Qué buscas exactamente? Hay varias expresiones de este tipo.
Quiero una expresión para $\{A,B\}_{\star}$ en términos de $\star$ .
Quiero saber si existe un análogo a los brackets poisson considerando el producto estrella.
Relacionado: physics.stackexchange.com/q/19770/2451 y enlaces allí.

Cosmas Zachos · Answer 1

La extensión cuántica (deformación) del PB es el conmutador escalado expresado en el espacio de fase, convencionalmente denominado corchete de Moyal ,

\frac{1}{i ℏ} (A ⋆ B - B ⋆ A) \equiv {{A, B}} = \frac{2}{ℏ} A pecado (\frac{ℏ}{2} (\overset{\leftarrow}{\partial_{X}} \vec{\partial_{pag}} - \overset{\leftarrow}{\partial_{pag}} \vec{\partial_{X}})) B = {A, B} + O (ℏ^{2}),

$\frac{1}{i \hbar} \left(A \star B - B \star A \right) \equiv \{\{A,B\}\} = \frac{2}{\hbar} A ~~ \sin \left ( {{\frac{\hbar }{2}}(\overset{\leftarrow}{\partial_x} \overset{\rightarrow}{\partial_p}-\overset{\leftarrow}{\partial_p}\overset{\rightarrow}{\partial_x})} \right )~~ B = \{A,B\} + O(\hbar^2),$ como se esperaba del principio de correspondencia, el límite ħ → 0.

Muchas de sus propiedades relacionadas con la asociatividad se prueban más fácilmente en la representación integral de Baker,

{{A, B}} (X, pag) = \frac{2}{ℏ^{3} π^{2}} \int d {pag}^{'} d {pag}^{″} d X^{'} d X^{″} A (X + X^{'}, pag + {pag}^{'}) B (X + X^{″}, pag + {pag}^{″}) pecado (\frac{2}{ℏ} (X^{'} {pag}^{″} - X^{″} {pag}^{'})) .

$\{ \{ A,B \} \}(x,p) = {2 \over \hbar^3 \pi^2 } \int\! dp' \, dp'' \, dx' \, dx'' A(x+x',p+p') B(x+x'',p+p'')\sin \left( \tfrac{2}{\hbar} (x'p''-x''p')\right)~.$

El $O(\hbar^2)$ las derivadas más altas por encima del PB a menudo prueban la no linealidad en el potencial del problema relevante y deforman los flujos clásicos de Liouville en configuraciones cuánticas características dramáticamente diferentes en el espacio de fase. En marcado contraste con la mecánica clásica, hacen que la probabilidad cuántica sea comprimible.

¿La estrella productiva es distributiva? Es correcto dice que, $A\star(B+C)=A\star B+A\star C$ ?
Sí, por supuesto: los productos estrella hacen lo que hacen los productos matriz. Son operaciones asociativas, no conmutativas, lineales. Expándalos al orden principal en hbar y observa su acción.
Aprovechando la oportunidad, me gustaría que alguien me ayudara a interpretar cómo escribiría, $\{M,\{N,L\}_{\star}\}_{\star}$ en el contexto del artículo [ arxiv.org/pdf/0909.1448.pdf] , donde $\star$ todavía está dada por la expresión anterior. Gracias de antemano.
? Usted ingresa la primera o la segunda fórmula que estoy escribiendo en la respuesta y calcula. En realidad, la asociatividad implica la identidad de Jacobi, por lo que sus dos fórmulas que siguen a su (5) funcionan para todos los órdenes en $\hbar$ . Es por eso que le di la representación integral, para que pueda conectar, cambiar variables (¡demasiadas!) y verificar.

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