Producto de números complejos de Grassmann en dimensiones superiores

si dos numeros$\eta$y$\xi$anti-conmutación. es decir,

$$\eta\xi=-\xi\eta$$ se llaman números de Grassmann. Inmediatamente se sigue que $$\eta^2=\xi^2=0,$$ y relaciones como $$e^{a\eta}=1+a\eta;~~e^{a\eta\xi}=1+a\eta\xi~~\text{etc}$$ y un montón de propiedades interesantes.

A menudo se habla de números complejos de Grassmann$\eta$, en dimensiones superiores. Por ejemplo, en dos dimensiones, se define como$\eta=\begin{pmatrix}\eta_1\\ \eta_2\end{pmatrix}$y$\xi=\begin{pmatrix}\xi_1\\ \xi_2\end{pmatrix}$. En este caso, se pueden definir productos tales como$\eta^T\xi$y$\eta^\dagger\xi$lo que da

$$\eta^T\zeta=\eta_1\xi_1+\eta_2\xi_2;~~\eta^\dagger\zeta=\eta^*_1\xi_1+\eta_2^*\xi_2.$$

En el primer caso, es bastante claro que dado que$\eta_1^2=\eta_2^2=0$, la relación$\eta^T\eta$(a veces abreviado como$\eta\eta$) da cero. Sin embargo, tengo problemas para evaluar el producto.$\eta^\dagger\eta=\eta^*_1\eta_1+\eta_2^*\eta_2$dónde$\eta_{1}$($\eta_2$) y$\eta_1^*$($\eta_2^*$) se toman como dos números de Grassmann independientes de modo que

$$\eta_1^*\eta_1=-\eta_1\eta_1^*.$$

mi pregunta es si$\eta^\dagger\eta$reducir a cero. La forma en que lo hice, no lo es. Pero no estoy seguro de si estoy cometiendo un error. Por favor, ayúdame con esto.