Problema sobre tangentes dibujadas a una circunferencia

Estoy resolviendo geometría de coordenadas por SL Loney. Estoy atascado en un problema sobre círculos que involucra tangentes y cuerdas. No estoy seguro si mi enfoque es correcto para resolver este problema. ¡Cualquier entrada, consejo que me lleve a resolver correctamente este problema me ayudaría!

Las tangentes se dibujan en el círculo. X 2 + y 2 = 12 en los puntos donde se encuentra con el círculo X 2 + y 2 − 5 X + 3 y − 2 = 0 . Encuentre el punto de intersección de estas tangentes.

Solución (Mi intento).

Los dos círculos tienen una cuerda común. Si ( X 1 , y 1 ) ser el requerido, la cuerda de contacto de las tangentes dibujadas al círculo X 2 + y 2 = 12 es:

X X 1 + y y 1 = 12

Pero, la cuerda de contacto de las tangentes trazada a través de ( X 1 , y 1 ) al circulo X 2 + y 2 − 5 X + 3 y − 2 = 0 es:

X X 1 + y y 1 + gramo ( X + X 1 ) + F ( y + y 1 ) + C = 0 X X 1 + y y 1 − 5 2 ( X + X 1 ) + 3 2 ( y + y 1 ) − 2 = 0 2 X X 1 + 2 y y 1 − 5 ( X + X 1 ) + 3 ( y + y 1 ) − 4 = 0 X ( 2 X 1 − 5 ) + y ( 2 y 1 + 3 ) − 5 X 1 + 3 y 1 − 4 = 0

Estoy comparando las dos ecuaciones anteriores e intentando resolver para X 1 , y 1 . ¿Estoy pensando en las líneas correctas?

¿Por qué estás mirando la cuerda de contacto del segundo círculo?

Respuestas (4)

Dejar A ( a , b ) ser el punto de intersección, C ( X 1 , y 1 ) y D ( X 2 , y 2 ) ser puntos de intersección de nuestros círculos.

Por tanto, la ecuación de la recta C D (el eje radical de nuestros círculos) es

X 2 + y 2 − 12 − ( X 2 + y 2 − 5 X + 3 y − 2 ) = 0
o
5 X − 3 y = 10
Id est, tenemos el siguiente sistema.
a X 1 + b y 1 = 12 ,
a X 2 + b y 2 = 12 ,
5 X 1 − 3 y 1 = 10
y
5 X 2 − 3 y 2 = 10 ,
lo que da
a ( X 1 − X 2 ) + b ( y 1 − y 2 ) = 0
y
5 ( X 1 − X 2 ) − 3 ( y 1 − y 2 ) = 0 ,
lo que da
A ( 5 t , − 3 t )
por algo de verdad t .

Ahora, es fácil ver que A se coloca en el cuarto cuadrante, que dice t > 0 .

Dejar k ser un punto de intersección de rectas A O y 5 X − 3 y = 10

De este modo, C k ⊥ A O y A C ⊥ C O , lo que da

C O 2 = O k ⋅ A O
o
12 = | − 10 | 5 2 + ( − 3 ) 2 ⋅ ( 5 t ) 2 + ( − 3 t ) 2
o
| t | = 6 5 ,
lo que da
t = 6 5
y
A ( 6 , − 18 5 ) .

sí, estás pensando bien. Pero puedes hacerlo relativamente corto. No encuentre la ecuación de la cuerda de contacto individualmente, solo use la ecuación de la familia de círculos S1-kS2 = 0. (k no es igual a -1). Pero si reemplaza k = -1, dará el acorde de contacto (muy parecido a resolver los dos círculos). en este caso es -5x+3y+10=0 y compárelo con la cuerda de contacto para cualquier círculo xx1+yy1-12=0 para obtener x1= 6 y1=18/5. dime si lo estoy haciendo mal.

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Propongo un enfoque ligeramente diferente (y creo que eficiente). Una vez que tienes el eje radical

r : 5 X − 3 y = 10
considera que el punto común entre las tangentes estará en la recta que pasa por el origen (centro de γ : X 2 + y 2 = 12 ) perpendicular a r , es decir
s : 3 X + 5 y = 0.
Si A B es el acorde cortado por γ en r , METRO es su punto medio y C es el punto de intersección que está buscando, entonces △ O A C es de ángulo recto y A METRO es su altura relativa a la hipotenusa. Entonces, por el primer teorema de Euclides obtenemos
O A ¯ 2 = O METRO ¯ ⋅ O C ¯ ,
eso es
O C ¯ O METRO ¯ = 12 O METRO ¯ 2 .
METRO Las coordenadas de se obtienen inmediatamente por intersección r y s . Obtenemos METRO ( 25 17 , − 15 17 ) . Por lo tanto
O METRO ¯ 2 = 850 289 ,
y
O C ¯ O METRO ¯ = 1734 425 .
De este modo
X C = X METRO ⋅ O C ¯ O METRO ¯ = 6 ,
y, de la ecuación de s ,
y C = − X C ⋅ 3 5 = − 18 5 .
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Como complemento a las otras respuestas, ofrezco la siguiente forma de encontrar el punto de intersección de las líneas tangentes: es el polo del eje radical. Entonces, según las otras respuestas, resta la ecuación de un círculo del otro para obtener la ecuación 5 X − 3 y − 10 = 0 del eje radical, sobre el que se encuentran los dos puntos de intersección. Usando el método descrito aquí , calculamos

( 1 0 0 0 1 0 0 0 − 1 12 ) ( 5 − 3 − 10 ) = ( 5 − 3 5 6 ) ,
entonces las tangentes se cortan en ( 5 5 / 6 , − 3 5 / 6 ) = ( 6 , − 18 5 ) .

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