cuando insertas$y=mx+12$en la ecuación circular y obtener

$$(1+m^2)\cdot x^2 + (14m−12)\cdot x + 68 = 0\label{1}\tag{1}$$ Hay dos cosas que puedes hacer: resolver para$x$o por$m$. ¿Cuál de esos tiene sentido?

Note que en$(\ref{1})$, si lo tomas$x$como una constante dada y resolver para$m$, estás respondiendo a la pregunta: Dada una$x$intersección de la línea a través de$(0,12)$con el círculo, determine la pendiente de esta línea. Puede ocurrir que haya dos puntos, uno o ninguno en la circunferencia con la que se da$x$coordenada, por lo tanto, el número de soluciones para$m$. Esto no es, sin embargo, lo que estamos buscando.

En cambio, la condición de tangente nos ofrece información valiosa: solo hay una$x$solución para algunos$m$estamos buscando. Por lo tanto, tiene más sentido resolver para$x$en$(\ref{1})$con la fórmula de la ecuación cuadrática:

$$x = \frac{- 7 m + 6\pm\sqrt{-19 m^2 - 84 m - 32} }{m^2 + 1}$$ Esto puede parecer aterrador a primera vista, pero recuerda que ya sabemos que hay exactamente una solución para$x$, y esto sucede precisamente cuando el discriminante es cero: $$\Delta=-19m^2-84m-32=0$$ Que se puede resolver mediante la fórmula de la ecuación cuadrática. Esto produce $$\fbox{$\displaystyle m\in\left\{-4, -\frac{8}{19}\right\}$}$$

Solo para reafirmar el punto esencial para que no quede enterrado:

• Las soluciones de la ecuación corresponden a los puntos de intersección entre la recta y el círculo . Puede haber cero, uno o dos de esos puntos.
• Si la línea no toca el círculo, no hay soluciones (reales).
• Si la recta pasa por el interior del círculo, hay dos soluciones.
• Sólo si la recta es tangente al círculo , es decir, sólo lo toca en un punto, la ecuación tendrá una única solución. Dado que queremos encontrar líneas que sean tangentes al círculo, este es exactamente el caso que nos interesa.

Convenientemente, también (deberíamos) saber que una ecuación cuadrática tiene solo una solución si y solo si su discriminante es cero. Por lo tanto, en realidad no necesitamos resolver la ecuación original; es suficiente encontrar los valores de$m$para el cual el discriminante es cero. Pero eso es solo un atajo algebraico. Si no supiéramos este hecho ya, podríamos haber obtenido el mismo resultado un poco más laboriosamente aplicando primero la fórmula cuadrática para encontrar las (hasta) dos soluciones, y luego encontrando el(los) valor(es) de$m$para los cuales son iguales (es decir, en realidad solo una solución).

El(los) punto(s) de intersección de dos curvas viene dado(s) por la(s) solución(es) de sus ecuaciones simultáneas.

En particular, cuando una línea recta

$$y=mx+c\tag1$$ y un circulo $$(x−a)^2+(y−b)^2=r^2\tag2$$ se intersecan exactamente en un punto, es decir, son tangentes entre sí, su ecuación combinada $$(x−a)^2+(mx+c−b)^2=r^2\\(m^2+1)x^2+2(mc-mb-a)x+(a^2+b^2+c^2-r^2-2bc)=0$$ tiene exactamente una solución. Pero como esta ecuación es cuadrática, su discriminante $$4(mc-mb-a)^2-4(m^2+1)(a^2+b^2+c^2-r^2-2bc)\tag3$$ es igual$0.$

Para nuestro ejemplo, conecte$c=12,a=6,b=5, r^2=17$en expresión$(3)$y configúralo en$0:$

$$4(7m-6)^2-4(m^2+1)(68)=0\\19m^2+84m+32=0\\m=-4 \;\:\text{ or } -\frac8{19}.$$

Un enfoque usando geometría:

Dejar$P = (0,12)$y los dos puntos tangentes ser$A, B$. Entonces$OP^2 = (0-6)^2 + (12-5)^2 = 85$, y el radio$AO^2 = 17$, entonces$PA^2 = PB^2 = 68$como tangentes a la circunferencia tienen la misma longitud.

Dibuja una línea que conecte$A$y$B$, y llamamos a su intersección con$OP$,$M$. por semejanza ($\Delta PAO \sim \Delta AOM$) y usando la potencia de un punto,$(2k)^2 = (\sqrt{17} + k)(\sqrt{17} - k) \implies 4k^2 = 17 -k^2 \implies k^2 = 17/5$, dónde$k = AM = BM$.

La línea$OP$tiene gradiente$\frac{5-12}{6-0} = -\frac{7}{6}$, por lo que la ecuación de la recta es$y = -\frac{7}{6}x + 12$. Haciendo un triángulo rectángulo con$OM$como la hipotenusa,$\text{run}^2 + \text{rise}^2 = 17/5$, o$x^2 + \left(\frac{7}{6}x\right)^2 = 17/5 \implies x = -\frac{6}{5}$, entonces$M$tiene$x$-coordinar$6 - \frac{6}{5} = \frac{24}{5}$y$y$-coordinar$\frac{32}{5}$.

También, desde$OP \perp AB$usando otro teorema del círculo,$AB$tiene gradiente$\frac{6}{7}$y$AM$tiene longitud$2k$. Dibujar otro triángulo rectángulo con hipotenusa$AM$,$x^2 + \left(\frac{6}{7}x\right)^2 = 68/5 \implies x = -\frac{14}{5}$, entonces$A$tiene coordenadas$\left(\frac{24}{5} - \frac{14}{5}, \frac{32}{5} - \frac{14}{5} \cdot \frac{6}{7} \right) = (2,4)$. Ahora$BM$tiene la misma longitud en la dirección opuesta, entonces$B = \left(\frac{24}{5} + \frac{14}{5}, \frac{32}{5} + \frac{14}{5} \cdot \frac{6}{7} \right) = \left(\frac{38}{5}, \frac{44}{5} \right)$.

Ahora usa la forma punto-pendiente para encontrar la ecuación de las rectas$PA,PB$, y obtendrás$-\frac{8}{19}x + 12, -4x + 12$.

El gráfico de Desmos está aquí .

Otras personas han explicado en profundidad tu pregunta sobre el determinante y por qué es cero. En resumen:

Cuando sustituyes la ecuación de la línea en la ecuación del círculo, la ecuación resultante dice, en efecto, "dada una línea con la fórmula y=12-mx , para algún valor arbitrario "m", ¿qué valores de x interseca/toca la línea con el círculo? "

Los valores de m que queremos son los que hacen que la línea sea tangente. Pero, ¿qué define a una tangente?

Para cualquier valor dado de "m", que es una tangente al círculo, la línea debe tocar el círculo exactamente en un punto. Ni cero puntos, ni 2 puntos. Solo uno.

Eso significa que la cuadrática debe tener un determinante cero, de lo contrario estaría diciendo que la línea cruza el círculo en ningún punto (determinante negativo, sin raíz real), o 2 puntos (determinante positivo, 2 raíces reales). Así que quieres valores de "m" que hagan que el determinante sea cero.

Luego obtiene una ecuación para "m", que le da "gradientes donde la línea será tangente al círculo". Es un cuadrático porque dos valores de m pueden hacer esto.

Geométricamente, hay una solución muy intuitiva sin embargo, usando simetría

Dibuja el diagrama así

(Llama a la distancia desde la intersección hasta el centro del círculo, D, olvidé marcar eso)

Inmediatamente podemos ver que

• las dos tangentes son simétricas en el sentido mostrado.
• de la ecuación, el centro y el radio del círculo son (6,5) y √17.
• la distancia del intercepto (0,12) al centro del círculo (6,5) es D = √(6 ² +(12-5) ² ) = √85

Ahora encontremos el ángulo ɑ. Tenemos un triángulo rectángulo entonces ɑ = sen ^-1 (D/r) = sen ^-1 (√17/√85) = sen ^-1 (1/√5) = 26.565 grados .

Por último, encontremos el ángulo (¡no el gradiente!) de la línea entre la intersección y el centro del círculo. El gradiente es (5-12)/6 = -7/6 por lo que el ángulo es tan ^-1 (-7/6) = -49,399 grados.

Por construcción, los dos triángulos tienen lados y ángulos idénticos, por lo que los dos gradientes son líneas que pasan por (0,12) en ángulos -49,399 ± 26,565 grados, o -75,965 y -22,834 grados.

Convirtiendo los ángulos de las líneas nuevamente en gradientes, obtenemos que las tangentes tienen gradientes: tan(-75.965) y tan(-22.834), o -4 y -0.421 (que como esperabas, es -8/19).

Sabemos que ambas tangentes tienen rectas con fórmulas y = 12 - mx , porque son rectas que pasan por (0,12). Tenga en cuenta que he usado "-m" para mayor claridad aquí, esperamos dos números negativos, aunque matemáticamente es más limpio usar "+mx".

Entonces las tangentes tienen ecuaciones:

y = 12 - 4 x

y

y = 12 - 0.421 x

¡Ni una cuadrática a la vista!

En general, convertir preguntas sobre tangentes complicadas a círculos en preguntas sobre triángulos de ángulo recto basados ​​en un radio y una tangente a un círculo es un truco que debería estar en la caja de herramientas de cualquier matemático.

después de combinar/hacer sustituciones para las ecuaciones de una línea genérica y el círculo en el dado, 'hay una solución en x' significa que la línea y el círculo solo tienen 1 punto de intersección. y eso es en realidad parte de lo dado: 'líneas tangentes'

gráficamente, se puede confirmar que solo existen 2 líneas de este tipo. y al resolver para m, este hecho debe reflejarse también