¿Por qué no obtenemos dos tangentes en forma de punto de tangente desde un punto dado a un círculo?

En mi libro de texto he leído la forma puntual de representación de la tangente desde un punto PAG ( X 1 , y 1 ) a un círculo X 2 + y 2 + 2 gramo X + 2 F y + C = 0 que está dado por

X X 1 + y y 1 + gramo ( X + X 1 ) + F ( y + y 1 ) + C = 0
Sé que se pueden dibujar dos tangentes desde un punto a un círculo, pero la ecuación anterior tiene solo una ecuación de tangente.

¿Por qué la ecuación anterior es válida solo para una tangente cuando debería dar dos ecuaciones de tangentes? (Estoy de acuerdo en que puede haber algunas inconsistencias en la ecuación).

¿Es posible que el punto (que es ( X 1 , y 1 ), supongo) se supone que debe estar en el círculo?
( X 1 , y 1 ) son puntos externos arbitrarios desde los cuales se dibuja la tangente (puede estar en cualquier lugar excepto dentro del círculo).
Esta es la ecuación de la polar de PAG , que es tangente al círculo iff PAG está en el círculo.

Respuestas (2)

La línea que mencionaste es la línea definida por los dos puntos en los que las líneas tangentes tocan el círculo. Entonces, si realmente quieres obtener esos dos puntos, calcula la intersección entre la línea y el círculo. Entonces, las rectas tangentes serán las rectas que pasan por ( X 1 , y 1 ) y cada uno de los puntos de contacto.

La pendiente de la recta es − X 1 y 1 que no es cuadrático, entonces, ¿cómo se puede definir para dos puntos tangentes?
En realidad, la pendiente de la recta si − y 1 + F X 1 + gramo . Y lo que escribí fue que esa recta pasa por ambos puntos tangentes. ¿Por qué la pendiente debe ser cuadrática entonces?
Perdón por el error al calcular la pendiente, pero ¿cómo puede pasar una línea a través de ambos puntos tangentes? (Supongo que te refieres al punto tangente a los puntos que se tocan en un círculo desde un par de dos tangentes). Será mejor para mí si agregas un diagrama a su respuesta.
Sí, eso es lo que quiero decir. Si, por ejemplo, F = gramo = 0 , C = − 1 , y ( X 1 , y 1 ) = ( 2 , 0 ) , entonces el círculo es el círculo unitario y los puntos de contacto son ( 1 2 , ± 3 2 ) . Entonces la línea que obtienes es la línea X = 1 2 , que pasa por ambos puntos.
pero X = 1 2 ni siquiera es una tangente, en mi pregunta anterior, la línea a la que me refería era una línea tangente desde el punto P, es decir, ¿cómo puede una línea tangente pasar por dos puntos tangentes a la vez?
¿De verdad leíste lo que escribí? Escribí que la línea que mencionaste es la línea definida por los dos puntos tangentes. No afirmé que es tangente al círculo.
He editado mi respuesta. ¿Está todo claro ahora?
Gracias por la ayuda, después de trazar las ecuaciones en el gráfico, puedo ver que la línea es la línea definida por dos puntos tangentes, debe haber algún error en el libro de texto.
@pranjalverma Si mi respuesta fue útil, tal vez podría marcarla como aceptada.
También puede votar mi pregunta si la encuentra útil.
Seguro. Me lo perdí. Hecho.

Creo que lo que has encontrado en el texto debería ser: -

Si PAG ( X 1 , y 1 ) es un punto en el circulo C : X 2 + y 2 + 2 gramo X + 2 F y + C = 0 , entonces la ecuación de la tangente que toca el círculo C en P es

X X 1 + y y 1 + gramo ( X + X 1 ) + F ( y + y 1 ) + C = 0

Si PAG ( X 0 , y 0 ) es externo a C , la(s) ecuación(es) de las tangentes de P a C no serán una forma simplificada atractiva. Sin embargo, todavía se pueden derivar a través de los siguientes pasos.

  1. Mediante la fórmula del punto medio, encuentre M, el punto medio de OP.

  2. Por la fórmula de la distancia, encuentre R = O PAG 2 .

  3. Configure la ecuación del nuevo círculo (centrado en M y radio = R)

  4. Resuelva el círculo C y el círculo M para obtener H ( X 1 , y 1 ) y k ( X 2 , y 2 ) .

  5. Usa la forma de dos puntos para encontrar la ecuación de PAG H y PAG k , que son las tangentes requeridas.

¿Por qué no obtenemos dos tangentes en forma de punto de tangente desde un punto dado a un círculo?
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