Dados dos círculos distintos que se cortan, ¿la longitud de la cuerda del círculo más grande que es bisecada por el círculo más pequeño es igual a?

Question

Dados dos círculos distintos que se cortan, ¿la longitud de la cuerda del círculo más grande que es bisecada por el círculo más pequeño es igual a?

círculos
geometría
Matemáticas
geometría analítica
sistemas coordinados
Geometría euclidiana

Paparazzi

Dos círculos cuyos centros se encuentran en el eje x, cuyos radios son $\sqrt2cm$ y $1cm$ y cuyos centros están separados 2 cm se cortan en un punto A. La cuerda AC del círculo más grande corta al círculo más pequeño en un punto B y es bisecado por ese punto. ¿Cuál es la longitud de la cuerda AC? . Mi intento : . . Como se muestra en el diagrama anterior, comencé asumiendo que el centro del círculo más pequeño S ₁ (de radio 1) era el origen y el centro del círculo más grande S ₂ (de radio $\sqrt2$ ) ser $(2,0)$ ya que los centros están separados por 2 unidades. Entonces resolví:

S ₁ : $x^2 + y^2 = 1$ ; y

S ₂ : $(x-2)^2 + y^2 = 2$ para obtener $A(\frac{3}4 , \frac{\sqrt7}4)$

Observé las siguientes ecuaciones:

Dado que B se da como el punto medio de la cuerda AC:

X _B = $\frac{X_A + X_C}2$ ; $Y_B = \frac{Y_A +Y_C}2$

Dado que C se encuentra en $S_2$ :

$(X_C-2)^2 + Y_C^2 = 2$

La distancia de B al origen es 1 unidad:

$(X_B-0)^2 + (Y_B-0)^2 = 1$

$(\frac{X_A + X_C}2 - 0)^2$ + $(\frac{Y_A +Y_C}2 - 0)^2 = 1$

$(\frac{\frac{3}4 + X_C}2 - 0)^2$ + $(\frac{\frac{\sqrt7}4 +Y_C}2 - 0)^2 = 1$

Esta ecuación y la ecuación generada en el punto 2 juntas son dos ecuaciones en dos variables y debería poder resolverlas para obtener la coordenada de C. Sin embargo, esto está demostrando ser engorroso.

. ¿Hay una mejor manera de evitar este enfoque?

Respuestas (3)

Dados dos círculos distintos que se cortan, ¿la longitud de la cuerda del círculo más grande que es bisecada por el círculo más pequeño es igual a?

amante de las matemáticas · Answer 1

Soltar a un delincuente de $C_1$ a $AB$ y extender Entonces $D$ es el punto medio de $AB$ . Soltar a un delincuente de $C_2$ a $C_1D$ extender.

Si $AC = 4a$ , $C_2E = BD = a$ y $C_1E = C_1D + C_2B$

$C_1D = \sqrt{1-a^2}, C_2B = \sqrt{2 - 4a^2}$

Usando Pitágoras en $\triangle C_1EC_2$ ,

$(\sqrt{1-a^2} + \sqrt{2 - 4a^2})^2 + a^2 = 4$

$3 - 4a^2 + 2 \sqrt{1-a^2} \sqrt{2 - 4a^2} = 4$

$4 (1-a^2) (2 - 4a^2) = (1 + 4a^2)^2$

$8 - 24a^2 + 16a^4 = 1 + 16 a^4 + 8 a^2$

$\displaystyle 32a^2 = 7 \implies AC = 4a = \sqrt{\frac{7}{2}}$

Mis Moléculas · Answer 2

Pista :

Desde $AC$ es bisecado en $B$ , $C_2B \perp AC$ .

Pista 2:

El círculo con diámetro $AC_2$ atravesar $B$ . Por eso $AB$ es el eje radical de esta circunferencia y $S_1$ .

Pista 3:

La distancia de cualquiera de los centros de tres círculos desde el eje radical es fácilmente calculable. Usando algunos triángulos rectángulos, la longitud de $AC$ entonces se puede determinar.

Alternativamente, uno puede optar por una solución geométrica.

denotar por $M$ punto medio de $AC_2$ , $AC_1BM$ es una cometa con cuatro lados y una diagonal conocida (por las razones expuestas en la Pista 2). su otra diagonal $AB$ se puede encontrar mediante la aplicación del teorema de Pitágoras y se duplica para dar la longitud de $AC$ .

Juan María · Answer 3

Sí, hay un camino diferente usando trigonometría:

Sea, con su sistema de coordenadas:

B = (porque α, pecado α) y C = (2 + \sqrt{2} porque β, \sqrt{2} pecado β)

$B=(\cos \alpha, \sin \alpha) \ \text{and} \ C=(2+\sqrt{2}\cos \beta, \sqrt{2}\sin \beta)$

Solo tenemos que expresar que B es el punto medio de [AC] escribiendo que

2 B = A + C ⟺ {\begin{cases} 2 porque α & = & \frac{3}{4} + 2 + \sqrt{2} porque β & (1 a) \\ 2 pecado α & = & \frac{\sqrt{7}}{4} + \sqrt{2} pecado β & (1 b) \end{cases}

$2B=A+C \ \iff \ \begin{cases}2\cos \alpha&=& \dfrac34+2+\sqrt{2}\cos\beta & (1a)\\2 \sin \alpha&=&\dfrac{\sqrt{7}}{4}+\sqrt{2}\sin \beta & (1b)\end{cases}$

Esto te da 2 ecuaciones en las 2 incógnitas $\alpha$ y $\beta$ .

Elevando al cuadrado y sumando (1a) y (1b) se obtiene:

4 = (\frac{11}{4} + \sqrt{2} porque β)^{2} + (\frac{\sqrt{7}}{4} + \sqrt{2} pecado β)^{2}

$4=(\dfrac{11}{4}+\sqrt{2}\cos\beta)^2+(\dfrac{\sqrt{7}}{4}+\sqrt{2}\sin \beta)^2$

Expandiendo y usando una vez más $\cos^2a +\sin^2 a=1$ :

4 = (\frac{11}{4})^{2} + 2 (\frac{11}{4}) \sqrt{2} porque β + (\frac{7}{dieciséis})^{2} + 2 \frac{\sqrt{7}}{4} \sqrt{2} pecado β + 2

$4=(\dfrac{11}{4})^2+2(\dfrac{11}{4})\sqrt{2}\cos\beta+(\dfrac{7}{16})^2+2\dfrac{\sqrt{7}}{4}\sqrt{2}\sin \beta+2$

que es la ecuación muy clásica $A \cos a + B\sin a=C$

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Paparazzi

Respuestas (3)

amante de las matemáticas

Mis Moléculas

Juan María

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