Encuentra la ecuación del círculo con radio 3–√−13−1\sqrt3-1 unidades con ambas coordenadas del centro negativas

un circulo de radio$\sqrt3-1$unidades con ambas coordenadas del centro negativas, toca las rectas$y-\sqrt3x=0$y$x-\sqrt3y=0$. Demostrar que la ecuación de la circunferencia es

$$x^2+y^2+4(x+y)+(\sqrt3+1)^2=0.$$

Mi acercamiento

Dejar$(x_1,y_1)$sean las coordenadas del centro de la circunferencia. Como el círculo está en el tercer cuadrante y toca a ambos$y-\sqrt3x=0$y$x-\sqrt3y=0$, podemos decir que las tangentes a las dos líneas anteriores se encuentran en el centro$(x_1,y_1)$. En ese caso,

$$\begin{equation} \tag{1} y-y_1=-\sqrt3(x-x_1) \end{equation}$$ y $$\begin{equation} \tag{2} y-y_1 = - \dfrac{1}{\sqrt3} (x - x_1) \end{equation}$$

También usando la fórmula de distancia punto a línea obtenemos

$$\begin{equation} \tag{3} \dfrac{|y_1-\dfrac{1}{\sqrt3}x_1|}{\sqrt{1+\dfrac{1}{3}}} =\sqrt3-1 \end{equation}$$

De (3) obtenemos$y_1-\dfrac{1}{\sqrt3}x_1=2-\dfrac{2}{\sqrt3}$

También usando la misma fórmula de línea a distancia para la otra línea que obtenemos,

$$\begin{equation} \tag{4} y_1-\sqrt3 x_1=2(\sqrt3-1) \end{equation}$$

De (3) y (4) obtenemos valores de$x_1=2\sqrt3-4$y de manera similar para$y_1$.

Mi pregunta

Aparte de eso, ¿hay algún método más corto para obtener las coordenadas del centro y, posteriormente, la ecuación del círculo dado?