Encuentra la distancia entre los puntos de dos tangentes a lo largo de un círculo

$$\begin{align} |OE|=|OF|= R&=5 ,\quad |OA|=10 ,\quad |OB|=2\sqrt{13} ,\quad |AB|=2\sqrt{74} ,\\ \triangle AOE:\quad |AE|&=5\sqrt3 ,\\ \triangle BFO:\quad |BF|&=3\sqrt3 . \end{align}$$

$$\begin{align} \angle EOF&=\angle AOB-\angle AOE-\angle FOB , \end{align}$$

$$\begin{align} \angle AOB&=\arccos\frac{|OA|^2+|OB|^2-|AB|^2}{2\cdot|OA|\cdot|OB|} = \pi-\arccos(\tfrac{18}{65}\sqrt{13}) ,\\ \angle AOE&= \arccos\frac{|OE|}{|OA|} =\tfrac\pi3 ,\\ \angle FOB&= \arccos\frac{|OF|}{|OB|} =\arccos(\tfrac5{26}\sqrt{13}) ,\\ \angle EOF&= \tfrac{2\pi}3-\arccos(\tfrac{18}{65}\sqrt{13}) -\arccos(\tfrac5{26}\sqrt{13}) \approx 1.234262917 . \end{align}$$

Entonces, la distancia entre$E$y$F$a lo largo del círculo, es decir, la longitud del arco$FE$es

$$\begin{align} R\cdot\angle EOF&= 5\cdot(\tfrac{2\pi}3-\arccos(\tfrac{18}{65}\sqrt{13}) -\arccos(\tfrac5{26}\sqrt{13})) \approx 6.171314600 . \end{align}$$

expresión para$\angle EOF$se puede simplificar a

$$\begin{align} \angle EOF&= \arccos\frac{18+2\sqrt3}{65} , \end{align}$$ por lo tanto, por la regla del coseno también podemos encontrar

$$\begin{align} |EF|&=\tfrac1{13}\sqrt{6110-260\sqrt3} \approx 5.78698130 . \end{align}$$

Si elegimos el punto$E$por ejemplo, entonces sabemos que$EO \perp EA$. Esto significa que$(\text{slope of EO})(\text{slope of EA})$es igual$-1$. Si$E = (x, y)$, tenemos:

$$\frac{8-y}{6-x} \cdot \frac{y - 0}{x - 0} = -1$$

$E$también se encuentra en el círculo, por lo que:

$$x^2+y^2=5^2$$

lo que da dos posibilidades para$(x,y)$, donde uno esta$E$y el otro es punto$G$.

Puedes repetir este mismo proceso para encontrar$F$, después de lo cual solo puede usar la fórmula de distancia.

Tenga en cuenta que la cuerda del círculo$x^2+y^2=r^2$pasando por los dos puntos tangentes trazados desde el punto exterior$(x_1,y_1)$es$x_1x+y_1y =r^2$. Entonces, las ecuaciones de las cuerdas EG y FH son, respectivamente

$$6x+8y=25,\>\>\>\>\>-4x-6y=25$$

Sustituirlos en$x^2+y^2=25$para obtener los puntos$E(\frac32+2\sqrt3, 2-\frac32\sqrt3)$y$F(\frac{45}{26}\sqrt3-\frac{25}{13}, -\frac{75}{26}-\frac{15}{13}\sqrt3)$, lo que da la distancia

$$EF=\sqrt{\frac{10}{13}(47-2\sqrt3)}$$