Dado que el lugar geométrico es un círculo, demuestre que dos líneas son perpendiculares

Ignorando el caso de rectas paralelas (o coincidentes), supongamos$\ell_1$y$\ell_2$reunirse en el punto único$O$. Cualquier círculo sobre$O$encuentra las líneas en los vértices de un rectángulo$\square ABCD$; también encuentra las bisectrices de los ángulos formados por esas líneas en los vértices de un cuadrado$\square WXYZ$(porque las bisectrices son necesariamente perpendiculares).

Cada vértice de$\square ABCD$esta a distancia$0$desde cualquiera$\ell_1$o$\ell_2$, y está a una distancia común (digamos$k$) del otro de$\ell_1$o$\ell_2$. Por lo tanto, "la suma de los cuadrados de las distancias a las líneas" es una constante (es decir,$k^2$) en los cuatro puntos, lo que implica que$\bigcirc O$debe ser uno de los "lugares de los círculos" determinados por las líneas. Esa suma también debe ser constante en los vértices de$\square WXYZ$, ya que esos vértices se encuentran en ese lugar geométrico; en particular, las sumas por$W$y$X$solo debe coincidir. Sin embargo, porque$W$está en la bisectriz de un ángulo, la suma de los cuadrados de las distancias desde$W$a ambas líneas es simplemente el doble del cuadrado de la distancia a cualquiera de las líneas; igualmente para$X$. Concluimos que las distancias de cada uno de$W$y$X$a cada uno de$\ell_1$y$\ell_2$ todas coinciden, haciendo que una de las líneas sea paralela al segmento$\overline{WX}$y la otra recta la mediatriz de ese segmento.$\square$

Dejar$l_1$ser dado por$a_1x+b_1y+c_1=0$y$l_1$ser dado por$a_2x+b_2y+c_2=0$.

Dejar$P$ser el punto$(h,k)$y$d_j$sea ​​la distancia del punto$P$de línea$l_j$. Entonces,

$$d_1=\frac{|a_1h+b_1k+c_1|}{\sqrt{a_1^2+b_1^2}} \quad \text{ and } \quad d_2=\frac{|a_2h+b_2k+c_2|}{\sqrt{a_2^2+b_2^2}}$$

Se nos da que el lugar geométrico de los puntos para los cuales$d_1^2+d_2^2=s$(dónde$s$es alguna constante) es un círculo. Dejar$\lambda_1=a_1^2+b_1^2$y$\lambda_2=a_2^2+b_2^2$. Observa eso

$$d_1^2+d_2^2=\left(\frac{\lambda_2a_1^2+\lambda_1a_2^2}{\lambda_1 \lambda_2}\right)h^2+\left(\frac{\lambda_2b_1^2+\lambda_1b_2^2}{\lambda_1 \lambda_2}\right)k^2+\left(\frac{2a_1b_1}{\lambda_1}+\frac{2a_2b_2}{\lambda_2}\right)hk+\dotsb$$ Para que esto sea un círculo,

1. coeficiente de$hk$debe ser$0$, y
2. coeficientes de$h$y$k$debería ser igual.

Así tenemos

$$\begin{align*} \lambda_2a_1^2+\lambda_1a_2^2 & = \lambda_2b_1^2+\lambda_1b_2^2\\ a_1b_1\lambda_2+a_2b_2\lambda_1 & = 0 \end{align*}$$

Al resolver esto, obtenemos

$$(a_1a_2)^2 = (b_1b_2)^2 \implies a_1a_2 = \pm b_1b_2.$$

Intenta ver por qué$a_1a_2=b_1b_2$no ocurrirá. Entonces lo único que queda es$a_1a_2+b_1b_2=0$que es la condición de perpendicularidad de$l_1$y$l_2$.