¿Por qué se necesitan más parámetros para definir un círculo de Apolonio que uno ordinario?

Un círculo de Apolonio se define como el lugar geométrico de los puntos$P$tal que la relación$PA/PB$de las distancias a dos puntos fijos$A$y$B$es un numero positivo dado$\lambda$.

Sin embargo, dado un círculo, hay infinitas tríadas$(A, B, \lambda)$teniendo ese círculo como su círculo de Apolonio.

Considere, por ejemplo, el círculo en el plano cartesiano con ecuación$x^2+y^2=1$: es el círculo de Apolonio de todos$(A,B,\lambda)$con$A$y$B$dada por:$A=(\lambda,0)$,$B=(1/\lambda,0)$. Y si rotas cada pareja$(A,B)$alrededor del centro del círculo, los puntos girados$(A',B')$definir el mismo círculo de Apolonio con la misma razón$\lambda$.

En resumen, ese círculo es el círculo de Apolonio de todas las tríadas:

$$A=(\lambda\cos\theta,\lambda\sin\theta),\quad B=\left({\cos\theta\over\lambda},{\sin\theta\over \lambda}\right),\quad \lambda.$$ Estos dependen de dos parámetros libres. $\theta$y $\lambda$: eso explica la diferencia entre los cinco parámetros de la definición de Apolonio y los tres parámetros de la definición ordinaria.