Usando el discriminante para encontrar la ecuación de tangentes a un círculo

Estaba trabajando en una pregunta de geometría y tomé una ruta muy larga para obtener una respuesta. Encontré una solución que funcionó, usé el discriminante pero no entiendo cómo. La pregunta era esta:

El círculo C tiene ecuación$x^2 + 6x + y^2 -2y = 7$. Las rectas L1 y L2 son tangentes a la circunferencia en los puntos P y Q respectivamente. Se cortan en el punto R$(0,6)$. Encuentra las ecuaciones de las rectas L1 y L2, dando tus respuestas en la forma$y=mx + b$.

Comencé dibujando el diagrama y recorrí una ruta muy larga que implicó usar a Pitágoras varias veces para encontrar varias magnitudes de distancias, estableciendo que el centro del círculo,$(-3,1)$, forma un cuadrado con P, Q y R. A partir de esto, calculé la pendiente de la línea desde el centro hasta R, encontré la pendiente de la línea perpendicular a ella y finalmente pude calcular las coordenadas de la puntos P y Q. Solo desde aquí pude terminarlo y trabajar las ecuaciones de las tangentes en P y Q.

Sin embargo, esto tomó alrededor de 30 minutos, y cuando miré las soluciones trabajadas vi el siguiente método mucho más conciso:

Las ecuaciones de las rectas L1 y L2 son ambas$y = mx + 6$.

Sustituyendo$y = mx + 6$en la ecuación del círculo, expandir y factorizar da:

$(1+m^2)x^2 + (6+10m)x + 17 = 0$

Hay una solución, así que usando el discriminante$b^2 - 4ac = 0$:

$(6+10m)^2 - 4(1+m^2)(17)=0$

Que se expande y factoriza para dar:

$(4m-1)(m+4)=0$por lo tanto$m = 1/4$o$m = - 4$

Realmente no entiendo conceptualmente por qué podemos usar el discriminante en esta situación, y realmente agradecería que alguien explicara lo que realmente sucede cuando decimos "hay una solución, por lo que usar el discriminante..."

¡Gracias de antemano!