Problema relacionado con la notación de Dirac y el teorema de Ehrenfest

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Problema relacionado con la notación de Dirac y el teorema de Ehrenfest

Daniel

El teorema de Ehrenfest en una forma dice (omitiendo sombreros para vectores) para operadores adecuados A

\begin{matrix} (1) & \frac{d}{d t} ⟨ A ⟩ = ⟨ \frac{\partial A}{\partial t} ⟩ + ⟨ \frac{[A, H]}{i ℏ} ⟩ \end{matrix}

$\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\langle A\rangle~=~\bigg\langle\frac{\partial A}{\partial t}\bigg\rangle+\bigg\langle\frac{[A,H]}{i\hbar}\bigg\rangle\tag{1}$

y una consecuencia "inmediata" es que, insertando el operador de posición x para A en el teorema, usando P para el operador de cantidad de movimiento,

\begin{matrix} (1a) & \frac{d}{d t} ⟨ X ⟩ = ⟨ \frac{PAG}{metro} ⟩ . \end{matrix}

$\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\langle x\rangle~=~\bigg\langle\frac{P}{m}\bigg\rangle.\tag{1a}$

Ignorando el lado izquierdo de (1) razoné (omitiendo la función de prueba en los valores esperados)

\begin{aligned} ⟨ \frac{\partial X}{\partial t} ⟩ + ⟨ \frac{[X, H]}{i ℏ} ⟩ & = ⟨ \frac{\partial X}{\partial t} ⟩ + ⟨ \frac{X H - H X}{i ℏ} ⟩ \\ = ⟨ \frac{\partial X}{\partial t} ⟩ + ⟨ \frac{X H}{i ℏ} ⟩ - ⟨ \frac{H X}{i ℏ} ⟩ \\ = ⟨ \frac{\partial X}{\partial t} ⟩ + ⟨ \frac{X H}{i ℏ} ⟩ - ⟨ \frac{\partial X}{\partial t} ⟩ \end{aligned}

$\begin{align} \bigg\langle\frac{\partial x}{\partial t}\bigg\rangle + \bigg\langle\frac{[x,H]}{i\hbar}\bigg\rangle &=~\bigg\langle\frac{\partial x}{\partial t}\bigg\rangle + \bigg\langle\frac{xH-Hx}{i\hbar}\bigg\rangle \\ &=~\bigg\langle\frac{\partial x}{\partial t}\bigg\rangle + \bigg\langle\frac{xH}{i\hbar}\bigg\rangle~-~\bigg\langle\frac{Hx}{i\hbar}\bigg\rangle \\ &=~\bigg\langle\frac{\partial x}{\partial t}\bigg\rangle + \bigg\langle\frac{xH}{i\hbar}\bigg\rangle~-~\bigg\langle\frac{\partial x}{\partial t}\bigg\rangle \end{align}$ y entonces

$\begin{matrix} (2) & \frac{d}{d t} ⟨ X ⟩ = ⟨ \frac{X H}{i ℏ} ⟩, \end{matrix}$ $\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\langle x\rangle~=~ \bigg\langle\frac{xH}{i\hbar}\bigg\rangle,\tag{2}$

que puedo convencerme a mí mismo es verdad.

Por otro lado, usando la primera relación en este conjunto de problemas (PDF):

[X, H] = \frac{i ℏ}{metro} PAG,

$[x,H]=\frac{i\hbar}{m}P,$ obtenemos inmediatamente que

\frac{d}{d t} ⟨ X ⟩ = ⟨ \frac{\partial X}{\partial t} ⟩ + ⟨ \frac{[X, H]}{i ℏ} ⟩

$\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\langle x\rangle~=~\bigg\langle\frac{\partial x}{\partial t}\bigg\rangle+\bigg\langle\frac{[x,H]}{i\hbar}\bigg\rangle$

$\begin{matrix} (3) & \frac{d}{d t} ⟨ X ⟩ = ⟨ \frac{\partial X}{\partial t} ⟩ + ⟨ \frac{PAG}{metro} ⟩ \end{matrix}$ $\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\langle x\rangle~=~\bigg\langle\frac{\partial x}{\partial t}\bigg\rangle+\bigg\langle\frac{P}{m}\bigg\rangle\tag{3}$

pero luego de (1a) que $\bigg\langle\partial x/\partial t\bigg\rangle~=0,$ lo que me molesta un poco pero no parece contradecir nada de lo anterior directamente.

Mi pregunta es si las conclusiones (2), (3) en estos dos cálculos son correctas y si no en qué me equivoqué.

jacob1729

Tal vez hubiera sido más claro si hubiera mantenido los sombreros de operador puestos.

\partial \hat{x} / \partial t \equiv \hat{0}

$\partial \hat{x} / \partial t \equiv \hat{0}$ porque el operador

\hat{x}

$\hat{x}$ no tiene una dependencia temporal explícita.

Daniel

@ jacob1729: Volveré y editaré si es demasiado confuso. x es el operador en todo momento.

kyle kanos

Tenga en cuenta que puede usar \langley \ranglepara obtener sujetadores y kets más atractivos, en lugar de un montón de símbolos de menor que y mayor que flotando.

jacob1729

@daniel Mi punto era más que tal vez te confunde.

\hat{x}

$\hat{x}$ es un operador constante, no una variable dinámica (no es la posición de nada) y por lo tanto no tiene una derivada de tiempo parcial.

Daniel

@ jacob1729, lo tengo. Simplemente no estoy acostumbrado a tomar derivados de tiempo de los operadores de posición, por lo que parece extraño. Si la conclusión es correcta, tanto mejor.

Daniel

@KyleKanos: Volveré y haré esto pronto, gracias, y también repartiré gorras.

embebido_dev

He editado la pregunta agregando ángulos derecho e izquierdo en lugar de los signos mayor que y menor que.

Respuestas (1)

Problema relacionado con la notación de Dirac y el teorema de Ehrenfest

Tal vez hubiera sido más claro si hubiera mantenido los sombreros de operador puestos. $\partial \hat{x} / \partial t \equiv \hat{0}$ porque el operador $\hat{x}$ no tiene una dependencia temporal explícita.
@ jacob1729: Volveré y editaré si es demasiado confuso. x es el operador en todo momento.
Tenga en cuenta que puede usar \langley \ranglepara obtener sujetadores y kets más atractivos, en lugar de un montón de símbolos de menor que y mayor que flotando.
@daniel Mi punto era más que tal vez te confunde. $\hat{x}$ es un operador constante, no una variable dinámica (no es la posición de nada) y por lo tanto no tiene una derivada de tiempo parcial.
@ jacob1729, lo tengo. Simplemente no estoy acostumbrado a tomar derivados de tiempo de los operadores de posición, por lo que parece extraño. Si la conclusión es correcta, tanto mejor.
@KyleKanos: Volveré y haré esto pronto, gracias, y también repartiré gorras.
He editado la pregunta agregando ángulos derecho e izquierdo en lugar de los signos mayor que y menor que.

embebido_dev · Answer 1

Primero, observe que el término:

⟨ \frac{\partial X}{\partial t} ⟩

$\bigg\langle\frac{\partial x}{\partial t} \bigg \rangle$ Es igual a cero en la imagen de Schrödinger (que es con la que parece estar trabajando) porque los operadores en la imagen de Schrödinger son constantes . Es decir, no dependen explícitamente del tiempo. Lo que cambia en el tiempo es su valor esperado , y esto se representa por:

\frac{d ⟨ X ⟩}{d t}

$\frac{d \langle x \rangle}{dt}$ Así que una de tus preguntas está respondida (creo).

Ahora, observe que:

[X, H] = \frac{1}{2 metro} (X {pag}^{2} - {pag}^{2} X)

$[x,H] = \frac{1}{2m}\big(xp^2 - p^2x\big)$ Pero

[x, p] = i ℏ

$[x,p]=i\hbar$ entonces

\frac{1}{2 metro} (X {pag}^{2} - {pag}^{2} X) = \frac{1}{2 metro} (X pag pag - pag pag X) = \frac{1}{2 metro} ((i ℏ + pag X) pag - pag (X pag - i ℏ))

$\frac{1}{2m}\big(xp^2 - p^2x\big) = \frac{1}{2m}\big(xpp - ppx\big) = \frac{1}{2m}\big((i\hbar+px)p - p(xp-i\hbar)\big)$ Y entonces

[X, H] = \frac{1}{2 metro} (i ℏ pag + pag X pag - pag X pag + i ℏ pag) = \frac{i ℏ pag}{metro}

$[x,H] = \frac{1}{2m}\big(i\hbar p + pxp - pxp + i\hbar p\big) = \frac{i\hbar p}{m}$ No tiene mucho sentido decir eso

⟨ \frac{H X}{i ℏ} ⟩ = ⟨ \frac{\partial X}{\partial t} ⟩

$\bigg\langle\frac{Hx}{i\hbar}\bigg\rangle = \bigg\langle\frac{\partial x}{\partial t}\bigg\rangle$ Como parece que has hecho.

Estudiaré esto, pero en las cuatro líneas en las que divido [x, H], ¿puede decirme cuál está mal? (gracias)
Es la suposición que hizo desde la línea 3 a la 4, que he establecido en mi respuesta (última ecuación).
La tercera línea completa es $\frac{d}{dt}<x>=<\partial x/\partial t>-<\partial x/\partial t>+<xH/ih> \implies \frac{d}{dt}<x> =~<xH/ih>$ . Si es correcto, ¿por qué no sigue la cuarta línea?
Eso no está bien. $\bigg\langle \frac{Hx}{i\hbar \bigg\rangle$ no es igual al valor esperado de la derivada de x respecto al tiempo.
Comprendido. Entonces debe haber un error en una de las líneas anteriores. ¿Puedes decirme cuál?
Mira la última igualdad en mi respuesta. Lo usaste en tus cálculos. Y es incorrecto. Ese es el error.

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