Evolución temporal de un estado

Question

Evolución temporal de un estado

Vincenzo Ventriglia

En $t=0$ , una vuelta- $1/2$ partícula tiene la función de onda

ψ = \frac{R (r)}{\sqrt{3}} [\sqrt{2} Y_{1}^{- 1} (θ, ϕ) + Y_{1}^{0} (θ, ϕ)] x_{1 / 2}^{1 / 2},

$\psi=\frac{R(r)}{\sqrt{3}}\big[\sqrt{2} Y_1^{-1}(\theta,\phi) + Y_1^0(\theta,\phi) \big] \chi_{1/2}^{1/2},$ que, en notación de Dirac y usando los coeficientes de Clebsch-Gordan, reescribo en el

| J, M ⟩

$\left|J,M \right\rangle$ base como

ψ = \frac{R (r)}{\sqrt{3}} [\sqrt{\frac{2}{3}} | \frac{3}{2}, - \frac{1}{2} ⟩ - \sqrt{\frac{4}{3}} | \frac{1}{2}, - \frac{1}{2} ⟩ + \sqrt{\frac{2}{3}} | \frac{3}{2}, \frac{1}{2} ⟩ - \frac{1}{\sqrt{3}} | \frac{1}{2}, \frac{1}{2} ⟩] .

$\psi=\frac{R(r)}{\sqrt{3}}\Big[\sqrt{\frac{2}{3}}\left|\frac{3}{2},-\frac{1}{2}\right\rangle -\sqrt{\frac{4}{3}}\left|\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right\rangle + \sqrt{\frac{2}{3}}\left|\frac{3}{2},\frac{1}{2}\right\rangle - \frac{1}{\sqrt{3}} \left|\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right\rangle \Big].$ dado el hamiltoniano

H = gramo j_{z},

$\mathcal{H}=gJ_z,$ como se escribe el

J_{z}

$J_z$ y la evolución temporal del estado, a saber

ψ (t)

$\psi(t)$ ?

Miguel

¿Conoce alguna ecuación que relacione la dependencia del tiempo de una función de onda con el hamiltoniano que opera en esa función de onda? ¿Has oído hablar de Schrödinger , por ejemplo?

Vincenzo Ventriglia

Seguro. pero como se escribe

J_{z}

$J_z$ ?

Cosmas Zachos

En su base de Dirac, aplicada a su estado,

J_{z}

$J_z$ no es más que diag(-1/2,1/2), ya que nunca tuvo que considerar los valores propios de ±3/2.

Miguel

Por ejemplo,

J_{z} | 3 / 2, 1 / 2 ⟩ = ℏ / 2 | 3 / 2, 1 / 2 ⟩

$J_z \lvert 3/2, 1/2 \rangle = \hbar/2\, \lvert 3/2, 1/2 \rangle$ . Tenga en cuenta que

J_{z} r = 0

$J_z r = 0$ . Ahora dale a cada spin ket una dependencia del tiempo como

e^{\pm i ω t}

$e^{\pm i \omega t}$ (con el signo basado en el signo de

M

$M$ ) y resolver para

ω

$\omega$ . Tenga en cuenta que es sólo

\pm ω

$\pm \omega$ porque cada uno de estos kets es un estado propio de energía con la misma magnitud (pero signos opuestos) de energía.

Vincenzo Ventriglia

@CosmasZachos, ¡muchas gracias! Sé darme cuenta de que era una pregunta tonta. Eso es porque no estoy lo suficientemente familiarizado con ejercicios de este tipo.

Respuestas (1)

Evolución temporal de un estado

¿Conoce alguna ecuación que relacione la dependencia del tiempo de una función de onda con el hamiltoniano que opera en esa función de onda? ¿Has oído hablar de Schrödinger , por ejemplo?
En su base de Dirac, aplicada a su estado, $J_z$ no es más que diag(-1/2,1/2), ya que nunca tuvo que considerar los valores propios de ±3/2.
Por ejemplo, $J_z \lvert 3/2, 1/2 \rangle = \hbar/2\, \lvert 3/2, 1/2 \rangle$ . Tenga en cuenta que $J_z r = 0$ . Ahora dale a cada spin ket una dependencia del tiempo como $e^{\pm i \omega t}$ (con el signo basado en el signo de $M$ ) y resolver para $\omega$ . Tenga en cuenta que es sólo $\pm \omega$ porque cada uno de estos kets es un estado propio de energía con la misma magnitud (pero signos opuestos) de energía.
@CosmasZachos, ¡muchas gracias! Sé darme cuenta de que era una pregunta tonta. Eso es porque no estoy lo suficientemente familiarizado con ejercicios de este tipo.

ZeroTheHero · Answer 1

En general, las soluciones dependientes de tiempo completo son

| ψ_{norte} (t) ⟩ = {mi}^{- i t {mi}_{norte} / ℏ} | ψ_{norte} ⟩

$\vert \psi_n(t)\rangle =e^{-itE_n/\hbar}\vert \psi_n\rangle$ con

| ψ_{n} ⟩

$\vert\psi_n\rangle$ el

n

$n$ 'th eigenket de la ecuación independiente del tiempo .

Como la ecuación de Schrödinger es lineal, una suma de soluciones también es una solución; por tanto, la forma general de una solución es

| Ψ (t) ⟩ = \sum_{norte} C_{norte} {mi}^{- i t {mi}_{norte} / ℏ} | ψ ⟩ .

$\vert\Psi(t)\rangle =\sum_n c_n e^{-itE_n/\hbar}\vert \psi\rangle\, .$ Dado que la ecuación de Schrödinger es de primer orden en el tiempo, se pueden determinar los coeficientes

c_{n}

$c_n$ desde el estado inicial

| Ψ (0) ⟩

$\vert\Psi(0)\rangle$ .

Entonces es un ejercicio simple para usted encontrar el $c_n$ Ha dado su estado inicial.

Si seguro. pero como se escribe $J_z$ para responder la pregunta? No estoy seguro, pero debería ser una diagonal. $6\times 6$ matriz en esta base
@VincenzoVentriglia sus kets individuales son eigenkets de $J_z$ .

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Miguel

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Cosmas Zachos

Miguel

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