Evolución temporal del operador de posición

Question

Evolución temporal del operador de posición

Axioma sin queso

Estoy tratando de entender por qué

{mi}^{- i t △} X {mi}^{i t △} = X - 2 i t \nabla

$e^{-it\triangle}xe^{it\triangle}=x-2it\nabla$ dónde

x

$x$ es solo un operador de multiplicación por

x

$x$ . En particular, el texto dice que esto se puede ver al diferenciar con respecto a

t

$t$ .

qmecanico

↑

$\uparrow$ ¿Qué texto?

Valter Moretti

Si

△

$\triangle$ es el

1 D

$1D$ laplaciano

\frac{d^{2}}{d x^{2}}

$\frac{d^2}{dx^2}$ la fórmula debe estar mal.

e^{- i t △} x e^{i t △}

$e^{-it\triangle}xe^{it\triangle}$ no es más que la evolución de Heisenberg del operador de posición para una partícula libre con masa

m = 1 / 2

$m= 1/2$ (y suponiendo

ℏ = 1

$\hbar=1$ ). La identidad correcta es

e^{- i t △} x e^{i t △} = x + 2 t p

$e^{-it\triangle}xe^{it\triangle}=x + 2tp$ dónde

p = - i \frac{d}{d x}

$p= -i\frac{d}{dx}$ .

Axioma sin queso

Sí, estás en lo correcto. Pido disculpas por el error.

Respuestas (1)

Evolución temporal del operador de posición

Si $\triangle$ es el $1D$ laplaciano $\frac{d^2}{dx^2}$ la fórmula debe estar mal. $e^{-it\triangle}xe^{it\triangle}$ no es más que la evolución de Heisenberg del operador de posición para una partícula libre con masa $m= 1/2$ (y suponiendo $\hbar=1$ ). La identidad correcta es $e^{-it\triangle}xe^{it\triangle}=x + 2tp$ dónde $p= -i\frac{d}{dx}$ .

yuggib · Answer 1

Asumiendo $\Delta$ es el operador laplaciano, es decir $-\Delta=D_x^2$ , dónde $D_x=-i\partial_x$ , esto es lo siguiente (pero el resultado es diferente al que das).

Elija un dominio denso adecuado de $L^2$ dónde $x$ y $-\Delta$ están bien definidas, por ejemplo, las funciones que son $C_0^\infty$ . Dejar $\psi\in C_0^\infty$ , entonces

{mi}^{i t D_{X}^{2}} X {mi}^{- i t D_{X}^{2}} ψ = X ψ + \int_{0}^{t} \frac{d}{d s} ({mi}^{i s D_{X}^{2}} X {mi}^{- i s D_{X}^{2}} ψ) d s,

$e^{itD_x^2}xe^{-itD_x^2}\psi=x\psi + \int_0^t \frac{d}{ds}(e^{isD_x^2}xe^{-isD_x^2}\psi)ds \; ,$ y esto se llama la fórmula de Duhamel. Ahora tomando la derivada obtienes

{mi}^{i t D_{X}^{2}} X {mi}^{- i t D_{X}^{2}} ψ = X ψ - i \int_{0}^{t} {mi}^{i s D_{X}^{2}} [X, D_{X}^{2}] {mi}^{- i s D_{X}^{2}} d s = X ψ - i \int_{0}^{t} {mi}^{i s D_{X}^{2}} (D_{X} [X, D_{X}] + [X, D_{X}] D_{X}) {mi}^{- i s D_{X}^{2}} ψ d s .

$e^{itD_x^2}xe^{-itD_x^2}\psi=x\psi -i\int_0^t e^{isD_x^2}[x,D_x^2]e^{-isD_x^2}ds=x\psi -i\int_0^t e^{isD_x^2}(D_x[x,D_x]+[x,D_x]D_x) e^{-isD_x^2}\psi ds\; .$ Ahora el conmutador

[x, D_{x}] = i

$[x,D_x]=i$ , y

D_{X}

$D_X$ viaja con

e^{i s D_{x}^{2}}

$e^{isD_x^2}$ por eso

{mi}^{i t D_{X}^{2}} X {mi}^{- i t D_{X}^{2}} ψ = X ψ + 2 D_{X} \int_{0}^{t} {mi}^{- i s D_{X}^{2}} {mi}^{i s D_{X}^{2}} ψ d s = (X + 2 t D_{X}) ψ .

$e^{itD_x^2}xe^{-itD_x^2}\psi=x\psi + 2D_x\int_0^te^{-isD_x^2}e^{isD_x^2}\psi ds=(x+2tD_x)\psi\; .$ El resultado se puede extender a cualquier

ψ \in D (x) \cap D (D_{x})

$\psi\in D(x)\cap D(D_x)$ tal que

e^{- i t D_{x}^{2}} ψ \in D (x)

$e^{-itD_x^2}\psi\in D(x)$ .

Evolución temporal del operador de posición

Axioma sin queso

qmecanico

Valter Moretti

Axioma sin queso

Respuestas (1)

yuggib

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