evolución temporal del estado |a′⟩|a′⟩|a'\rangle con hamiltoniano H=|a′⟩δ⟨a′′|+|a′′⟩δ⟨a′|H=|a′⟩δ ⟨a″|+|a″⟩δ⟨a′|H=|a'\rangle\delta\langle{a}''|+|a''\rangle\delta\langle{a}'| [cerrado]

Question

evolución temporal del estado |a′⟩|a′⟩|a'\rangle con hamiltoniano H=|a′⟩δ⟨a′′|+|a′′⟩δ⟨a′|H=|a′⟩δ ⟨a″|+|a″⟩δ⟨a′|H=|a'\rangle\delta\langle{a}''|+|a''\rangle\delta\langle{a}'| [cerrado]

Física
unitaridad
evolución del tiempo
mecánica cuántica
deberes-y-ejercicios

Sooraj S

Referencia al Capítulo 2, Problema 8.b, Mecánica cuántica moderna, Sakurai :

$|a'\rangle$ , $|a''\rangle$ : automercado del operador hermitiano $A$ y el hamiltoniano,

H = | a^{'} ⟩ d ⟨ a^{″} | + | a^{″} ⟩ d ⟨ a^{'} |

$H=|a'\rangle\delta\langle{a}''|+|a''\rangle\delta\langle{a}'|$ Los valores propios y los mercados propios de

H

$H$ se obtienen como:

{mi}_{+} = + d, | + ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix})

$E_+=+\delta,\quad|+\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ \end{pmatrix}$ y

{mi}_{-} = - d, | + ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \end{matrix}) .

$E_-=-\delta,\quad|+\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ \end{pmatrix}.$ Si se sabe que el sistema está en estado

| a^{'} ⟩

$|a'\rangle$ en t=0, ¿cuál es el vector de estado después de un tiempo t?

Intenta resolver el problema:

El estado inicial en términos de autoconsumo de energía:

| Ψ ⟩ = | a^{'} ⟩ = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}) = \frac{1}{\sqrt{2}} (| + ⟩ + | - ⟩)

$|\Psi\rangle=|a'\rangle=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \end{pmatrix}=\frac{1}{\sqrt{2}}\Big(|+\rangle+|-\rangle\Big)$

\begin{aligned} | Ψ (t) ⟩ & = | a^{'}, t ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} ({mi}^{- i \frac{H t}{ℏ}} | + ⟩ + {mi}^{- i \frac{H t}{ℏ}} | - ⟩) \\ = \frac{1}{\sqrt{2}} ((1 - i \frac{H t}{ℏ}) | + ⟩ + (1 - i \frac{H t}{ℏ}) | - ⟩) \end{aligned}

$\begin{align} |\Psi(t)\rangle&=|a',t\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\Bigg(e^{-i\frac{Ht}{\hbar}}|+\rangle+e^{-i\frac{Ht}{\hbar}}|-\rangle\Bigg)\\&=\frac{1}{\sqrt{2}}\Bigg((1-i\frac{Ht}{\hbar})|+\rangle+(1-i\frac{Ht}{\hbar})|-\rangle\Bigg) \end{align}$

Desde $H|+\rangle=+\delta|+\rangle$ y $H|-\rangle=-\delta|-\rangle$ ,

\begin{aligned} | Ψ (t) ⟩ & = \frac{1}{\sqrt{2}} ((1 - i \frac{d t}{ℏ}) | + ⟩ + (1 + i \frac{d t}{ℏ}) | - ⟩) \\ = \frac{1}{\sqrt{2}} ({mi}^{- i \frac{d t}{ℏ}} | + ⟩ + {mi}^{i \frac{d t}{ℏ}} | - ⟩) \\ = \frac{1}{\sqrt{2}} ({mi}^{- i \frac{d t}{ℏ}} \frac{1}{\sqrt{2}} (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}) + {mi}^{i \frac{d t}{ℏ}} \frac{1}{\sqrt{2}} (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \end{matrix})) \\ = \frac{1}{2} (\begin{matrix} porque (ω t) - i pecado (ω t) + porque (ω t) + i pecado (ω t) \\ porque (ω t) - i pecado (ω t) - porque (ω t) - i pecado (ω t) \end{matrix}) \\ = \frac{1}{2} (\begin{matrix} 2 porque (ω t) \\ - 2 i pecado (ω t) \end{matrix}) \\ = (\begin{matrix} porque (ω t) \\ - i pecado (ω t) \end{matrix}) \end{aligned}

$\begin{align} |\Psi(t)\rangle&=\frac{1}{\sqrt{2}}\Bigg((1-i\frac{\delta{t}}{\hbar})|+\rangle+(1+i\frac{\delta{t}}{\hbar})|-\rangle\Bigg)\\ &=\frac{1}{\sqrt{2}}\Bigg(e^{-i\frac{\delta{t}}{\hbar}}|+\rangle+e^{i\frac{\delta{t}}{\hbar}}|-\rangle\Bigg)\\ &=\frac{1}{\sqrt{2}}\Bigg(e^{-i\frac{\delta{t}}{\hbar}}\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ \end{pmatrix}+e^{i\frac{\delta{t}}{\hbar}}\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ \end{pmatrix}\Bigg)\\ &=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} \cos(\omega{t})-i\sin(\omega{t})+\cos(\omega{t})+i\sin(\omega{t}) \\ \cos(\omega{t})-i\sin(\omega{t})-\cos(\omega{t})-i\sin(\omega{t}) \\ \end{pmatrix}\\ &=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 2\cos(\omega{t}) \\ -2i\sin(\omega{t}) \\ \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} \cos(\omega{t}) \\ -i\sin(\omega{t}) \\ \end{pmatrix} \end{align}$ dónde

ω = δ / ℏ

$\omega=\delta/\hbar$

Duda:

¿Por qué obtuve $i\sin(\omega{t})$ en lugar de $\sin(\omega{t})$ ?

¿Cuál es la forma correcta de verificar que la respuesta es correcta?

marca mitchison

Creo que el OP ha olvidado cómo calcular la norma correctamente ... Si no te complicas, conjuga los coeficientes de expansión del sujetador.

⟨ Ψ |

$\langle \Psi\rvert$ entonces obtendrías

⟨ Ψ | Ψ ⟩ = \cos^{2} ω t - \sin^{2} ω t \neq 1

$\langle \Psi\rvert \Psi\rangle = \cos^2 \omega t - \sin^2 \omega t \neq 1$ (equivocado).

Sooraj S

@MarkMitchison en realidad he encontrado una respuesta con

s i n (ω t)

$sin(\omega{t})$ en lugar de

- i s i n (ω t)

$-isin(\omega{t})$ para este problema. Estaba pensando si hay alguna forma de verificar la respuesta, si es correcta

marca mitchison

@ss1729 Igual que cualquier cálculo: hágalo cinco veces y ore por la convergencia... Mi comentario fue realmente sobre su declaración original de que la norma no se conservó, lo que supuse que podría deberse a lo anterior; disculpas si me equivoque. por cierto tampoco

\sin (ω t)

$\sin(\omega t)$ o

i \sin (ω t)

$i \sin (\omega t)$ podría ser correcto, se trata solo de una elección de base. Lo que importa son los valores esperados físicos, que son iguales en ambos casos.

Sooraj S

@MarkMitchison gracias. si eso es correcto, bajo qué opción obtendría

s i n (ω t)

$sin(\omega{t})$ ?. así quedaría mucho más claro

marca mitchison

¿Cuál es la base en la que se lee su solución?

| Ψ (t) ⟩ = \cos (ω t) | b^{'} ⟩ + \sin (ω t) | b^{″} ⟩

$\lvert \Psi(t)\rangle = \cos(\omega t) \lvert b'\rangle + \sin(\omega t) \lvert b''\rangle$ ? Deberías ser capaz de resolver esto por ti mismo.

Respuestas (1)

evolución temporal del estado |a′⟩|a′⟩|a'\rangle con hamiltoniano H=|a′⟩δ⟨a′′|+|a′′⟩δ⟨a′|H=|a′⟩δ ⟨a″|+|a″⟩δ⟨a′|H=|a'\rangle\delta\langle{a}''|+|a''\rangle\delta\langle{a}'| [cerrado]

Creo que el OP ha olvidado cómo calcular la norma correctamente ... Si no te complicas, conjuga los coeficientes de expansión del sujetador. $\langle \Psi\rvert$ entonces obtendrías $\langle \Psi\rvert \Psi\rangle = \cos^2 \omega t - \sin^2 \omega t \neq 1$ (equivocado).
@MarkMitchison en realidad he encontrado una respuesta con $sin(\omega{t})$ en lugar de $-isin(\omega{t})$ para este problema. Estaba pensando si hay alguna forma de verificar la respuesta, si es correcta
@ss1729 Igual que cualquier cálculo: hágalo cinco veces y ore por la convergencia... Mi comentario fue realmente sobre su declaración original de que la norma no se conservó, lo que supuse que podría deberse a lo anterior; disculpas si me equivoque. por cierto tampoco $\sin(\omega t)$ o $i \sin (\omega t)$ podría ser correcto, se trata solo de una elección de base. Lo que importa son los valores esperados físicos, que son iguales en ambos casos.
@MarkMitchison gracias. si eso es correcto, bajo qué opción obtendría $sin(\omega{t})$ ?. así quedaría mucho más claro
¿Cuál es la base en la que se lee su solución? $\lvert \Psi(t)\rangle = \cos(\omega t) \lvert b'\rangle + \sin(\omega t) \lvert b''\rangle$ ? Deberías ser capaz de resolver esto por ti mismo.

Korf · Answer 1

lo conseguiste $i\sin(\omega t)$ en su solución porque ese es el resultado de su cálculo y este resultado es correcto. No hay necesidad de querer $\sin(\omega t)$ en la solución con tu hamiltoniano. Eso estaría mal.

No creo que haya una forma "adecuada" de cómo verificar una respuesta a este tipo de problema. Siempre puede intentar pensar en alguna forma alternativa de calcular la solución y comparar los resultados. Por ejemplo, podría calcular explícitamente el operador de evolución como una matriz exponencial.

evolución temporal del estado |a′⟩|a′⟩|a'\rangle con hamiltoniano H=|a′⟩δ⟨a′′|+|a′′⟩δ⟨a′|H=|a′⟩δ ⟨a″|+|a″⟩δ⟨a′|H=|a'\rangle\delta\langle{a}''|+|a''\rangle\delta\langle{a}'| [cerrado]

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