La identidad de orden NNN de la exponencial ordenada en el tiempo en Mecánica Cuántica

Question

La identidad de orden NNN de la exponencial ordenada en el tiempo en Mecánica Cuántica

intercambio

En Mecánica Cuántica, a menudo se define el tiempo ordenado exponencial como, por ejemplo, aquí .

Ahora mi pregunta es cómo el factor de $N!$ surge Conozco el volumen símplex como la siguiente integral:

\int_{t_{0}}^{t} d t_{1} \int_{t_{1}}^{t} d t_{2} \dots \int_{t_{norte - 1}}^{t} d t_{norte} = \frac{(t - t_{0})^{norte}}{norte!} = \frac{1}{norte!} \int_{t_{0}}^{t} d t_{1} \int_{t_{0}}^{t} d t_{2} \dots \int_{t_{0}}^{t} d t_{norte}

$\begin{equation} \int_{t_0}^t dt_1 \int_{t_1}^{t} dt_2 \cdots \int_{t_{N-1}}^t dt_N = \frac{(t-t_0)^N}{N!}=\frac{1}{N!}\int_{t_0}^t dt_1 \int_{t_0}^{t} dt_2 \cdots \int_{t_{0}}^t dt_N \end{equation}$ Sin embargo, me gustaría saber cómo obtener la identidad.

\int_{t_{0}}^{t} d t_{1} \int_{t_{1}}^{t} d t_{2} \dots \int_{t_{norte - 1}}^{t} d t_{norte} F (t_{1}) \dots F (t_{norte}) = \frac{1}{norte!} \int_{t_{0}}^{t} d t_{1} \dots \int_{t_{0}}^{t} d t_{norte} T (F (t_{1}) \dots F (t_{norte}))

$\begin{equation} \int_{t_0}^t dt_1 \int_{t_1}^{t} dt_2 \cdots \int_{t_{N-1}}^t dt_N~f(t_1)\cdots f(t_N) = \frac{1}{N!} \int_{t_0}^t dt_1\cdots \int_{t_{0}}^{t} dt_N~\mathbb{T}~(f(t_1)\cdots f(t_N)) \end{equation}$ dónde

T

$\mathbb{T}$ es el operador de ordenación temporal que actúa de la siguiente manera:

T (F (t_{1}) \dots F (t_{metro})) = F (t_{π (norte)}) \dots F (t_{π (1)}) con t_{π (norte)} < \dots < t_{π (1)} .

$\begin{equation} \mathbb{T}~(f(t_1)\cdots f(t_m))=f(t_{\pi(N)})\cdots f(t_{\pi(1)})\qquad\text{with}\qquad t_{\pi(N)}<\cdots< t_{\pi(1)}. \end{equation}$

jahan claes

Creo que tiene un error tipográfico en sus límites de integración para la fórmula de ordenamiento por tiempo. He corregido el error tipográfico en mi respuesta a continuación.

intercambio

Gracias. He cambiado la definición de orden de tiempo ahora a

t_{π (N)} < \dots < t_{π (1)}

$t_{\pi(N)}<\cdots< t_{\pi(1)}$ , para que sea correcto.

Respuestas (1)

La identidad de orden NNN de la exponencial ordenada en el tiempo en Mecánica Cuántica

Creo que tiene un error tipográfico en sus límites de integración para la fórmula de ordenamiento por tiempo. He corregido el error tipográfico en mi respuesta a continuación.
Gracias. He cambiado la definición de orden de tiempo ahora a $t_{\pi(N)}<\cdots< t_{\pi(1)}$ , para que sea correcto.

jahan claes · Answer 1

tenemos eso $\mathbb{T}~(f(t_1)\cdots f(t_N))=\mathbb{T}~(f(t_{\sigma(1)})\cdots f(t_{\sigma(N)}))$ por cada permutación $\sigma$ . También sabemos que si tenemos alguna función $F(t_1,...,t_N)$ , entonces

\int_{t_{0}}^{t} d t_{1} \dots \int_{t_{0}}^{t} d t_{norte} F (t_{σ (1)}, . . ., t_{σ (norte)}) = \sum_{σ} \int_{t_{0}}^{t} d t_{1} \int_{t_{0}}^{t_{1}} d t_{2} \dots \int_{t_{0}}^{t_{norte - 1}} d t_{norte} F (t_{σ (1)}, . . ., t_{σ (norte)})

$\int_{t_0}^t dt_1\cdots \int_{t_{0}}^{t} dt_N~F(t_{\sigma(1)},...,t_{\sigma(N)}) =\sum_\sigma\int_{t_0}^t dt_1 \int_{t_0}^{t_1} dt_2 \cdots \int_{t_0}^{t_{N-1}} dt_N F(t_{\sigma(1)},...,t_{\sigma(N)})$

Así tenemos

\begin{array}{rcl} \int_{t_{0}}^{t} d t_{1} \dots \int_{t_{0}}^{t} d t_{norte} T (F (t_{1}) \dots F (t_{norte})) & = & \sum_{σ} \int_{t_{0}}^{t} d t_{1} \int_{t_{0}}^{t_{1}} d t_{2} \dots \int_{t_{0}}^{t_{norte - 1}} d t_{norte} T (F (t_{σ (1)}) \dots F (t_{σ (norte)})) \\ = & \sum_{σ} \int_{t_{0}}^{t} d t_{1} \int_{t_{0}}^{t_{1}} d t_{2} \dots \int_{t_{0}}^{t_{norte - 1}} d t_{norte} T (F (t_{1}) \dots F (t_{norte})) \\ = & \sum_{σ} \int_{t_{0}}^{t} d t_{1} \int_{t_{0}}^{t_{1}} d t_{2} \dots \int_{t_{0}}^{t_{norte - 1}} d t_{norte} F (t_{1}) \dots F (t_{norte}) \\ = & norte! \int_{t_{0}}^{t} d t_{1} \int_{t_{0}}^{t_{1}} d t_{2} \dots \int_{t_{0}}^{t_{norte - 1}} d t_{norte} F (t_{1}) \dots F (t_{norte}) \end{array}

$\begin{array}{rcl} \int_{t_0}^t dt_1\cdots \int_{t_{0}}^{t} dt_N~\mathbb{T}~(f(t_1)\cdots f(t_N))&=&\sum_{\sigma}\int_{t_0}^t dt_1 \int_{t_0}^{t_1} dt_2 \cdots \int_{t_0}^{t_{N-1}} dt_N~\mathbb{T}(f(t_{\sigma(1)})\cdots f(t_{\sigma(N)}))\\ &=&\sum_{\sigma}\int_{t_0}^t dt_1 \int_{t_0}^{t_1} dt_2 \cdots \int_{t_0}^{t_{N-1}} dt_N~\mathbb{T}(f(t_1)\cdots f(t_{N}))\\ &=&\sum_{\sigma}\int_{t_0}^t dt_1 \int_{t_0}^{t_1} dt_2 \cdots \int_{t_0}^{t_{N-1}} dt_N~f(t_1)\cdots f(t_{N})\\ &=&N!\int_{t_0}^t dt_1 \int_{t_0}^{t_1} dt_2 \cdots \int_{t_0}^{t_{N-1}} dt_N~f(t_1)\cdots f(t_{N})\\ \end{array}$ de donde se sigue inmediatamente la identidad.

Gracias por la respuesta. Sería muy bueno si pudiera elaborar el primer paso, es decir, ¿por qué podemos reescribir $\int_{t_0}^t dt_1\cdots\int_{t_0}^t dt_N F(t_1,\cdots,t_N)=\sum_\sigma \int_{t_0}^t dt_1\int_{t_0}^{t_1} dt_2\cdots \int_{t_0}^{t_{N-1}} F(t_{\sigma(1)},\cdots,t_{\sigma(N)})$ ?. Gracias.
¡Ah, entendí! El N-cubo es la unión de $N!$ N-simples. Ahora si dejamos $F(t_{\sigma(1)},\cdots,t_{\sigma(t_N)})$ pasar por todas las permutaciones con tiempos ordenados, luego cada valor que la función podría tomar en el N-cubo, se toma en uno de los Simplexes que componen el cubo. Y como esta unión es disjunta porque todo valor que la tupla ( $t_1,\cdots,t_n)$ puede tomar solo aparece en uno de estos simples, la suma de todas estas permutaciones con tiempos ordenados entonces es la integral sobre todo el cubo! Esto era, lo que aún me faltaba.

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