Operador de evolución temporal

Question

Operador de evolución temporal

Ana Branco

$\renewcommand{\ket}[1]{\left \lvert #1 \right\rangle}$ $\renewcommand{\bra}[1]{\left \langle #1 \right\rvert}$ Comienzo con esta expresión para el hamiltoniano:

H = a (| 1 ⟩ ⟨ 1 | - | 2 ⟩ ⟨ 2 | - i | 1 ⟩ ⟨ 2 | + i | 2 ⟩ ⟨ 1 |) .

$H = a \left(\ket{1} \bra{1} - \ket{2}\bra{2} -i \ket{1}\bra{2} + i \ket{2} \bra{1}\right) \, .$ Luego escribo la matriz sobre la base utilizada en la expresión anterior. Calculo los valores propios que son

E_{1} = \sqrt{2} a

$E_1=\sqrt{2}a$ y

E_{2} = - \sqrt{2} a

$E_2=-\sqrt{2}a$ Luego escribí la matriz del hamiltonion en base a los estados propios (matriz

A

$\mathbf{A}$ ). La base de los autoestados es

| μ_{1} ⟩

$\ket{\mu_1}$ y

| μ_{2} ⟩

$\ket{\mu_2}$ .

Definir $E_0 \equiv \sqrt{2}a$

Dada la matriz del hamiltoniano:

A = (\begin{matrix} {mi}_{0} & 0 \\ 0 & - {mi}_{0} \end{matrix})

$\begin{equation*} \mathbf A = \begin{pmatrix} E_0 & 0 \\ 0 & -E_0 \end{pmatrix} \end{equation*}$

y dos matrices $\mathbf B$ y $\mathbf C$ :

B = (\begin{matrix} 0 & - i \\ i & 0 \end{matrix})

$\begin{equation*} \mathbf B = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix} \end{equation*}$

C = (\begin{matrix} 2 & - i \sqrt{2} \\ i \sqrt{2} & 1 \end{matrix})

$\begin{equation*} \mathbf C = \begin{pmatrix} 2 & -i\sqrt{2} &\\ i\sqrt{2} & 1 \end{pmatrix} \end{equation*}$

Una de las cuestiones es realizar la medida en operador $\mathbf B$ y obtener valor propio $1$ . Ahora, después de algún tiempo, se hizo una nueva medición en $\mathbf B$ (sabiendo que $\mathbf C$ no se midió) ¿cuál es la probabilidad de obtener valor $1$ ¿de nuevo?

Pensé que el primer paso era escribir la expresión para la evolución del tiempo, por eso hice la pregunta inicial. ¿Pero no entiendo las soluciones de mi profesor? cual es esta expresión:

\begin{matrix} (ii) & | ψ (t) ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} ({mi}^{- i \frac{{mi}_{1}}{ℏ} t} | m_{1} ⟩ + {mi}^{- i \frac{{mi}_{2}}{ℏ} t} i | m_{2} ⟩) \end{matrix}

$\ket{\psi(t)} = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( e^{-i\frac{E_1}{\hbar}t}\ket{\mu_1}+e^{-i\frac{E_2}{\hbar}t}i\ket{\mu_2} \right) \tag{ii}$

no entiendo por qué $\ket{\mu_2}$ se multiplica por $i$ ? Pensé que había entendido el proceso, pero este problema realmente me confundió.

Ana Branco

tu no? ¿No tienes que multiplicar la exponencial del hamiltoniano por el ket en t=0?

Ana Branco

Creo que no estoy pensando bien, editaré el post para explicarme mejor,

Ana Branco

la matriz c es parte del problema más adelante, solo la usé para expresar el hecho de que no se realizó ninguna medición en el operador C. Lamento mucho la confusión. es confuso para mí, así que me está costando mucho expresar mi duda.

Ana Branco

de acuerdo con el problema, la matriz B se escribe en la base propia del hamiltonion.

Tobias Funke

@AnaBranco Bueno, estoy un poco confundida para ser honesta. Creo que se supone que debes usar el vector propio correspondiente al valor propio de

1

$1$ de

B

$B$ como estado inicial. Puede expresar este estado en términos de los estados propios de

H

$H$ . Luego aplicas el operador de evolución temporal. Entonces podría intentar calcular la amplitud de probabilidad para medir

1

$1$ Tiempo después

t

$t$ de nuevo. Pero de nuevo, no lo sé. Es una suposición, no más.

Ana Branco

Si usa el vector propio que corresponde al valor propio 1 de B, la expresión final tiene sentido. Solo que no concluí de inmediato que el valor propio de 1 de B era el estado inicial. Puedo considerar eso, porque la primera medición se realizó en B? Entonces, si comencé mi medición en C, ¿debería considerar el estado inicial como el vector propio correspondiente al valor que obtuve en primer lugar?

Tobias Funke

@AnaBranco No sé la pregunta en absoluto o lo que se supone que debes hacer. Pero en la medida en que interpreto esta pregunta, se supone que uno debe usar un vector propio (aquí el correspondiente al valor propio

1

$1$ ) de

B

$B$ . Por supuesto, un ejercicio similar podría ser usar un vector propio de

C

$C$ (correspondiente a algún valor propio) como un estado inicial en su lugar... Si puede, intente responder su propia pregunta. ¡De esta manera, la pregunta no quedará como 'sin respuesta'! :) Tal vez ayude a alguien algún día...

Ana Branco

Lo siento, escribí en el problema, pero no me estoy explicando bien. Tienes la matriz B con valores propios -1 y +1. Ahora mide el operador A y obtiene el valor propio 1. Deje pasar un tiempo y mida el operador A nuevamente, ¿cuál es la probabilidad de obtener el valor propio 1 nuevamente? Pero entendí lo que dijiste y creo que puedo resolver el resto del problema. Gracias por su tiempo y lo siento por no expresarme mejor, cuando tengo dudas me cuesta expresarme bien.

Respuestas (1)

Operador de evolución temporal

tu no? ¿No tienes que multiplicar la exponencial del hamiltoniano por el ket en t=0?
Creo que no estoy pensando bien, editaré el post para explicarme mejor,
la matriz c es parte del problema más adelante, solo la usé para expresar el hecho de que no se realizó ninguna medición en el operador C. Lamento mucho la confusión. es confuso para mí, así que me está costando mucho expresar mi duda.
de acuerdo con el problema, la matriz B se escribe en la base propia del hamiltonion.
@AnaBranco Bueno, estoy un poco confundida para ser honesta. Creo que se supone que debes usar el vector propio correspondiente al valor propio de $1$ de $B$ como estado inicial. Puede expresar este estado en términos de los estados propios de $H$ . Luego aplicas el operador de evolución temporal. Entonces podría intentar calcular la amplitud de probabilidad para medir $1$ Tiempo después $t$ de nuevo. Pero de nuevo, no lo sé. Es una suposición, no más.
Si usa el vector propio que corresponde al valor propio 1 de B, la expresión final tiene sentido. Solo que no concluí de inmediato que el valor propio de 1 de B era el estado inicial. Puedo considerar eso, porque la primera medición se realizó en B? Entonces, si comencé mi medición en C, ¿debería considerar el estado inicial como el vector propio correspondiente al valor que obtuve en primer lugar?
@AnaBranco No sé la pregunta en absoluto o lo que se supone que debes hacer. Pero en la medida en que interpreto esta pregunta, se supone que uno debe usar un vector propio (aquí el correspondiente al valor propio $1$ ) de $B$ . Por supuesto, un ejercicio similar podría ser usar un vector propio de $C$ (correspondiente a algún valor propio) como un estado inicial en su lugar... Si puede, intente responder su propia pregunta. ¡De esta manera, la pregunta no quedará como 'sin respuesta'! :) Tal vez ayude a alguien algún día...
Lo siento, escribí en el problema, pero no me estoy explicando bien. Tienes la matriz B con valores propios -1 y +1. Ahora mide el operador A y obtiene el valor propio 1. Deje pasar un tiempo y mida el operador A nuevamente, ¿cuál es la probabilidad de obtener el valor propio 1 nuevamente? Pero entendí lo que dijiste y creo que puedo resolver el resto del problema. Gracias por su tiempo y lo siento por no expresarme mejor, cuando tengo dudas me cuesta expresarme bien.

ytlu · Answer 1

$\renewcommand{\ket}[1]{\left \lvert #1 \right\rangle}$ $\renewcommand{\bra}[1]{\left \langle #1 \right\rvert}$ Según mi mejor suposición, el problema comenzó con un hamiltoniano desde algunas bases $\ket{1}$ y $\ket{2}$ . Déjame descuidar el parámetro. $a$ . Es irrelevante por ahora.

\begin{matrix} (1) & H = (| 1 ⟩ ⟨ 1 | - | 2 ⟩ ⟨ 2 | - i | 1 ⟩ ⟨ 2 | + i | 2 ⟩ ⟨ 1 |) . \end{matrix}

$\tag{1} H = \left(\ket{1} \bra{1} - \ket{2}\bra{2} -i \ket{1}\bra{2} + i \ket{2} \bra{1}\right) \, .$

Este hamiltoniano tiene dos valores propios $E_1 = \sqrt{2}$ y $E_2 = -\sqrt{2}$ . El estado propio $\ket{\mu_1}$ de valor propio $E_1$ , y $\ket{\mu_2}$ para $E_2$ .

Entonces un operador $\mathbf B$ , su forma matricial en términos de estas dos bases $\ket{\mu_1}$ y $\ket{\mu_2}$ son:

B = (\begin{matrix} 0 & - i \\ i & 0 \end{matrix})

$\mathbf B = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}$

Dos valores propios para matriz $\mathbf B$ es $\lambda_\pm= \pm 1$ . El vector propio para $\lambda_+= 1$ se puede encontrar fácilmente que es:

\begin{matrix} (2) & | λ_{+} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (| m_{1} ⟩ + i | m_{2} ⟩) \end{matrix}

$\tag{2} \ket{\lambda_+} = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \, \ket{\mu_1} + i \,\ket{\mu_2}\,\right)$

Ahora, realizamos una medición y encontramos el valor de $\mathbf B$ es $1$ . Significa que el estado está en $\psi(0) = \ket{\lambda_+}$ . Por lo tanto, la evolución temporal de $\psi$ :

ψ (t) = {mi}^{- i H t} ψ (0) = {mi}^{- i H t} \frac{1}{\sqrt{2}} (| m_{1} ⟩ + i | m_{2} ⟩) = \frac{1}{\sqrt{2}} ({mi}^{- i {mi}_{1} t} | m_{1} ⟩ + {mi}^{- i {mi}_{2} t} i | m_{2} ⟩)

$\psi(t) = e^{-i\mathbf Ht}\psi(0)= e^{-i\mathbf Ht} \frac{1}{\sqrt 2} \left( \, \ket{\mu_1} + i \,\ket{\mu_2}\,\right) = \frac{1}{\sqrt 2} \left( e^{-iE_1t} \ket{\mu_1} + e^{-iE_2t}i \,\ket{\mu_2}\,\right)$

Esto se asemeja a la escritura a mano de su maestro. Por lo tanto, supongo que el factor $i$ es el coeficiente del vector propio de la matriz $\mathbf B$ .

\vec{v} = \frac{1}{\sqrt{2}} (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix}) .

$\vec{v} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ i\end{pmatrix}.$

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