Operador de evolución temporal en imagen de interacción (oscilador armónico con perturbación dependiente del tiempo)

Question

Operador de evolución temporal en imagen de interacción (oscilador armónico con perturbación dependiente del tiempo)

usuario41178

1. El enunciado del problema, todas las variables y datos dados/conocidos

Considere un oscilador armónico dependiente del tiempo con hamiltoniano

\hat{H} (t) = {\hat{H}}_{0} + \hat{V} (t)

$\hat{H}(t)=\hat{H}_0+\hat{V}(t)$

{\hat{H}}_{0} = ℏ ω ({\hat{a}}^{†} \hat{a} + \frac{1}{2})

$\hat{H}_0=\hbar \omega \left( \hat{a}^{\dagger}\hat{a}+\frac{1}{2} \right)$

\hat{V} (t) = λ ({mi}^{i Ω t} {\hat{a}}^{†} + {mi}^{- i Ω t} \hat{a})

$\hat{V}(t)=\lambda \left( e^{i\Omega t}\hat{a}^{\dagger}+e^{-i\Omega t}\hat{a} \right)$

*(i) Calcular $\hat{U}_S(t,0)$ usando la fórmula de representación de interacción (Ecuación 1 en la siguiente sección) a la teoría de perturbaciones de segundo orden.

(ii) Calcular $\hat{U}_S(t,0)$ usando (Ecuación 2 en la siguiente sección) a la teoría de perturbaciones de segundo orden.

2. Ecuaciones relevantes

ECUACIÓN 1:

{tu}_{I} (t, 0) = 1 - \frac{i}{ℏ} \int_{0}^{t} d t^{'} V_{I} (t^{'}) + {(\frac{- i}{ℏ})}^{2} \int_{0}^{t} d t^{'} \int_{0}^{t^{'}} V_{I} (t^{'}) V_{I} (t^{″}) + \dots

$U_I(t,0)=1-\frac{i}{\hbar}\int_0^t dt' V_I(t')+\left( \frac{-i}{\hbar} \right)^2 \int_0^t dt' \int_0^{t'} V_I(t')V_I(t'') + \dots$

ECUACIÓN 2:

tu (t, 0) = 1 + \sum_{norte = 1}^{\infty} {(\frac{- i}{ℏ})}^{norte} \int_{0}^{t} d t_{1} \int_{0}^{t_{1}} d t_{2} \dots \int_{0}^{t_{norte - 1}} d t_{norte} H (t_{1}) H (t_{2}) \dots H (t_{norte})

$U(t,0)=1+\sum_{n=1}^{∞}\left( \frac{-i}{\hbar} \right)^n\int_0^t dt_1 \int_0^{t_1} dt_2 \dots \int_0^{t_{n-1}}dt_n H(t_1)H(t_2)\dots H(t_n)$

3. El intento de solución

Entonces sé que para la imagen de interacción la transformación del operador $\hat{V}_I$ es..

{\hat{V}}_{I} = {mi}^{\frac{i}{ℏ} {\hat{H}}_{0} t} \hat{V} {mi}^{\frac{- i}{ℏ} {\hat{H}}_{0} t}

$\hat{V}_I=e^{\frac{i}{\hbar}\hat{H}_0 t} \hat{V} e^{\frac{-i}{\hbar}\hat{H}_0 t}$

También sé que tanto los operadores como los kets evolucionan con el tiempo. Así que utilizo la ecuación de movimiento de imágenes de interacción en los operadores de escalera para poder obtener una expresión para ellos en función del tiempo.

\frac{d \hat{a}}{d t} = \frac{1}{i ℏ} [\hat{a}, ℏ ω ({\hat{a}}^{†} \hat{a} + \frac{1}{2})]

$\frac{d\hat{a}}{dt}=\frac{1}{i\hbar}\left[ \hat{a},\hbar \omega \left(\hat{a}^{\dagger}\hat{a} + \frac{1}{2} \right) \right]$

\frac{d {\hat{a}}^{†}}{d t} = \frac{1}{i ℏ} [{\hat{a}}^{†}, ℏ ω ({\hat{a}}^{†} \hat{a} + \frac{1}{2})]

$\frac{d\hat{a}^{\dagger}}{dt}=\frac{1}{i\hbar}\left[ \hat{a}^{\dagger},\hbar \omega \left( \hat{a}^{\dagger}\hat{a} + \frac{1}{2} \right) \right]$

entonces tengo..

\hat{a} (t) = \hat{a} (0) {mi}^{- i ω t}

$\hat{a}(t)=\hat{a}(0)e^{-i\omega t}$

{\hat{a}}^{†} (t) = {\hat{a}}^{†} (0) {mi}^{i ω t}

$\hat{a}^{\dagger}(t)=\hat{a}^{\dagger}(0)e^{i\omega t}$

Los conecté a la expresión para que V obtuviera,

\hat{V} = λ [{\hat{a}}^{†} (0) {mi}^{i (Ω + ω) t} + \hat{a} (0) {mi}^{- i (Ω + ω) t}]

$\hat{V}=\lambda \left[ \hat{a}^{\dagger}(0)e^{i(\Omega + \omega)t} + \hat{a}(0)e^{-i(\Omega + \omega)t} \right]$

Entonces, ahora lo que se debe hacer es transformar esto en la imagen de interacción y luego conectarlo a la Ecuación 1 de arriba e integrar. Pero esto parece muy complicado y tengo dudas si esta es la forma correcta de hacerlo. También sé que tanto los operadores como los kets evolucionan con el tiempo.

Así que utilizo la ecuación de movimiento de imágenes de interacción en los operadores de escalera para poder obtener una expresión para ellos en función del tiempo. ir sobre este problema. Si alguien puede arrojar algo de luz sobre esto, ¡realmente lo agradecería!

Alicia

¿Puede decirme cómo resolvió la ecuación de movimiento de imágenes de interacción en los operadores de escalera y obtuvo los operadores de escalera como una función del tiempo?

usuario41178

No recuerdo los detalles, pero mirando esto ahora, diría expandir el conmutador en ambas ecuaciones, luego usar la relación del conmutador [a+,a]=1 para obtener términos mutuos en ambas ecuaciones. Resuelva para un término mutuo en una ecuación y reemplácelo en la otra. Debería simplificarse a una ecuación diferencial simple con soluciones exponenciales. Lo siento, no puedo ser más detallado.

Respuestas (1)

Operador de evolución temporal en imagen de interacción (oscilador armónico con perturbación dependiente del tiempo)

¿Puede decirme cómo resolvió la ecuación de movimiento de imágenes de interacción en los operadores de escalera y obtuvo los operadores de escalera como una función del tiempo?
No recuerdo los detalles, pero mirando esto ahora, diría expandir el conmutador en ambas ecuaciones, luego usar la relación del conmutador [a+,a]=1 para obtener términos mutuos en ambas ecuaciones. Resuelva para un término mutuo en una ecuación y reemplácelo en la otra. Debería simplificarse a una ecuación diferencial simple con soluciones exponenciales. Lo siento, no puedo ser más detallado.

álgebrato · Answer 1

Empecemos por tu EQ1:

$\begin{eqnarray}U_I(t,0) = \mathbf{Id} + \frac{1}{i\hbar}\int_0^t dt_1V_H(t_1) +\cdots+\left(\frac{1}{i\hbar}\right)^k\int_0^tdt_1...\int_0^{t_{k-1} }V_H(t_1)\cdots V_H(t_k) \end{eqnarray}$

dónde $V_H$ medio $V$ desarrollada por heisenberg. El operador es totalmente simétrico, por lo que podemos ajustar los extremos integrales para escribir la bien conocida cola exponencial de orden de ruta:

$\begin{eqnarray} U_I(t,0)=\mathbf{Id}+\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{k!}\int_0^tdt_1..\int_0^tdt_{k-1}V_H(t_1)...V(t_k) = \text{Texp}\left[\frac{1}{i\hbar}\int_0^tdt'V_H(t')\right] \end{eqnarray}$

Así que ahora puedes usar la forma de potencial que encuentras en la exponencial de orden de ruta, y con el teorema de GellMann y Low encuentra el estado fundamental de tu hamiltoniano.

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usuario41178

Alicia

usuario41178

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álgebrato

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